Hola me dieron un cuestionario de verdadero o falso para llevar a casa para estudiar para un final pero no me dieron la clave de respuestas y esperaba que me pudieran ayudar con esta pregunta:
En un espacio métrico, todo conjunto abierto es la unión de un número contable de conjuntos cerrados.
He marcado esto como Falso.
La afirmación es realmente cierta. Sea $X$ sea el espacio, y que $U$ sea el conjunto abierto en cuestión. Si $U=X$ entonces, por supuesto $U$ es cerrado, por lo que ciertamente es la unión de un número contable de conjuntos cerrados. Supongamos, entonces, que $U\ne X$ y que $F=X\setminus U\ne\varnothing$ . Para cada $x\in U$ dejar
$$f(x)=\inf\{d(x,y):y\in F\}\;;$$
porque $F$ está cerrado, $f(x)>0$ para cada $x\in U$ . Para $n\in\Bbb N$ dejar $C_n=\{x\in U:f(x)\ge 2^{-n}\}$ ; $f$ es continua, por lo que cada $C_n$ está cerrado, y $U=\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n$ .
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