Es Mi Solución de Integración por Partes, ¿Correcto?

Question

Para $x>0$ vamos $\ f(x) = \int_0^\infty e^{-t-x^2⁄t} t^{-1/2}dt $

la pregunta que nos quiere mostrar que $\ f(x) = x \int_0^\infty e^{-t-x^2⁄t} t^{-3/2}dt $ por medio de la sustitución. Sin embargo, yo no creo que cualquier sustitución que funciona aquí. Lo que he hecho hasta ahora es:

1. encuentra $f'(x)$ $\ f'(x) = -2x ∫_0^\infty e^{-t-x^2⁄t} t^{-3/2}dt $ y
2. usando integración por partes tengo, $\ f(x) = -2x^2 \int_0^\infty e^{-t-x^2⁄t} t^{-3/2}dt $

lo que obtengo $\ f(x)= xf'(x) $ cuando se resuelva la ecuación diferencial conseguí $ f(x)= xe^C$ para alguna constante positiva $C$ sin embargo, la respuesta debe ser $ f(x)= Ce^{-2x} $ . Estoy totalmente equivocado. Por favor me ayude. No puedo ir profundo..

Answer 1

Puede calcular esta integral explícitamente $$ f(x)=\int\limits_{[0,+\infty)}e^{-t-\frac{x^2}{t}}\frac{dt}{\sqrt{t}}= \left\{s=\frac{x^2}{t}\right\}= \int\limits_{[0,+\infty)}e^{-\frac{x^2}{s}-s}\frac{xds}{\sqrt{s^3}}= \int\limits_{[0,+\infty)}e^{-t-\frac{x^2}{t}}\frac{xdt}{\sqrt{t^3}}= $$ Entonces $$ f(x)=\frac{1}{2}\left(\int\limits_{[0,+\infty)}e^{-t-\frac{x^2}{t}}\frac{dt}{\sqrt{t}}+\int\limits_{[0,+\infty)}e^{-t-\frac{x^2}{t}}\frac{xdt}{\sqrt{t^3}}\right)= \int\limits_{[0,+\infty)}e^{-t-\frac{x^2}{t}}\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}+\frac{x}{2\sqrt{t^3}}\right)dt= $$ $$ \int\limits_{[0,+\infty)}e^{-\left(\sqrt{t}-\frac{x}{\sqrt{t}}\right)^2-2x}d\left(\sqrt{t}-\frac{x}{\sqrt{t}}\right)= \left\{u=\left(\sqrt{t}-\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\right\}= \int\limits_{(-\infty,+\infty)}e^{-u^2-2x}du $$ $$ e^{-2}\int\limits_{(-\infty,+\infty)}e^{-u^2}du=\sqrt{\pi}e^{-2x} $$ Así, $$ f'(x)=-2 f(x) $$ P. S. Mathematica da los mismos resultados para $f(x)$