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Question

Encuentra todas las inyecciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$ tal forma que:

$f(n + m) + f(n - m) = f(n) - f(m) + f(f(m) + n) $

Tengo una idea para sustituir a $n=m$, ya que si $f(n)=f(m)$, $n=m$ (la regla para inyectiva funciones).

Si hago eso, tengo $f(2m)+f(0)=f(f(m)+m)$ y después de eso no tengo ninguna idea de qué hacer.

Alguna ayuda?

Answer 1

Establecimiento $m=0$ obtenemos:

$f(n)+f(n)=f(n)-f(0)+f(f(0)+n)$, esto implica $f(n)=f(f(0)+n)-f(0)$.

Esto nos da: $f(n+f(0))=f(n)+f(0)$.

Ahora, recordemos que tenemos $f(2m)+f(0)=f(f(m)+m)$, pero el lado izquierdo es igual a $f(2m+f(0))$.

Así que tenemos $f(2m+f(0))=f(f(m)+m)$, llegamos a la conclusión de $2m+f(0)=f(m)+m$ con inyectividad.

y por lo $f(m)=m+f(0)$.