Tengo un operador lineal $A\in\mathcal{L}(X,Y)$ donde $X$ $Y$ son algunos de los espacios de Banach (o espacios de Hilbert también haría, si que simplifica la respuesta.). El operador de la norma de $A$ está dado por $$ \|\|=\Sup_{x\in X} \|Ax\|_Y/\|x\|_X. $$ Ahora, si el operador de rango finito (hace las cosas un poco más fácil), me pueden verlo como un elemento del producto tensor espacio de $X^*\otimes Y$ donde $X^*$ es el doble continua de $X$, de tal manera que $$ A=\sum_{i=1}^n u_i^*\otimes v_i $$ con $u_i^*\in X^*$$v_i\in Y$. Ahora, hay muy pocas tensor de normas que puedo definir en $X^*\otimes Y$ a fin de completar el espacio, por ejemplo, la proyectiva norma $$ \epsilon(A)=\inf\left(\sum_{i=1}^n \|u_i^*\|_{X^*} \|v_i\|_Y\right) $$ donde el infimum va por encima de todas esas descomposiciones, y (como me tomo de R. Ryan, Introducción al Tensor de Productos de los Espacios de Banach) 13 más de normas puede sensatez definir en un producto tensor espacio. Ahora mi pregunta es: ¿hay alguna de estas tensor de normas que coincide con el operador de la norma? La única cosa que podía mostrar es, que el proyectiva norma si siempre mayor o igual que el operador de la norma. Sin embargo, eso no me ayuda mucho, yo tendría la igualdad.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tu pregunta es una pregunta muy natural (si he entendido bien) y al mismo tiempo se plantea una difícil pregunta.
Como dices, tiene sentido para identificar a los operadores de $A : X \to Y$ de rango finito con elementos de $X^{\ast} \otimes Y$. Ahora desea que el operador de la norma de $A$, coincidiendo con su norma en $X^{\ast} \otimes Y$ con respecto a algunas de las tensor de la norma. Yo se lo dejo a usted para comprobar que el inyectiva tensor de la norma definida para $\omega = \sum x_{i}^{\ast} \otimes y_{i}$ por $$\Vert \omega \Vert_{\varepsilon} = \sup_{\substack{\Vert \phi \Vert_{X^{\ast\ast}} \leq 1 \\\ \Vert \psi \Vert_{Y^{\ast}} \leq 1}}{\left\vert \sum \phi(x_{i}^{\ast}) \, \psi(y_{i})\right\vert}$$ hace lo que quiere (que es independiente de la representación de $\omega$ como una suma finita de primaria tensores y $\|A\| = \|A\|_{\varepsilon}$ para los operadores de rango finito). Edit: A ver la segunda afirmación, el uso de Goldstine del teorema que permite reemplazar el supremum $\phi \in X^{\ast\ast}$ $\Vert\phi\Vert_{X^{\ast\ast}} \leq 1$ por el supremum$\operatorname{ev}_{x}$$x \in X$$\Vert x \Vert_{X} \leq 1$.
El proyectiva del tensor de la norma de un determinado rango operador es generalmente mucho más grande que su operador de la norma (ver la discusión en las páginas 41 y siguientes de Ryan, por ejemplo).
Teniendo en cuenta esto, podemos identificar la terminación $X^{\ast} \otimes_{\varepsilon} Y$ $X^{\ast} \otimes Y$ con respecto a la inyectiva tensor de la norma con un espacio de $K_{0}(X,Y) \subset L(X,Y)$ de los operadores de $X \to Y$ y vamos a hacerlo libremente a partir de ahora. Tenga en cuenta que $K_{0}(X,Y)$ no es nada, pero el cierre de los operadores de rango finito en $L(X,Y)$.
Ahora la pregunta es: ¿cuáles son los operadores de la mentira en $K_{0}(X,Y)$ ?
Esto es realmente difícil y voy a esbozar la más cercana sé la respuesta a eso.
Como primera observación tenga en cuenta que el compacto de los operadores de $K(X,Y) \subset L(X,Y)$ es un subespacio cerrado de $L(X,Y)$ contiene $X^{\ast} \otimes_{\varepsilon} Y = K_{0}(X,Y)$. En los ejemplos de Hilbert espacios o la clásica de los espacios de Banach uno se entera de que muy a menudo $K(X,Y) = K_{0}(X,Y)$ mantiene. Sin embargo, puede fallar en general, y que es donde el famoso Aproximación de la Propiedad . Me abstendré de profundizar en los numerosos equivalente formulaciones y utilizarlo como una caja negra. Tenemos el siguiente teorema debido a Grothendieck:
Teorema. El espacio de Banach $X^{\ast}$ tiene la aproximación de la propiedad si y sólo si $K_{0}(X,Y) = K(X,Y)$ tiene para todos los espacios de Banach $Y$.
Edit 2: (en respuesta a un comentario de la OP) Se deduce que para un reflexiva espacio de Banach $X$ con la aproximación de la propiedad tenemos $K(X,Y) = X^{\ast} \otimes_{\varepsilon} Y$ para todos los espacios de Banach $Y$.
Ahora la mayoría de los espacios de Banach que se ejecutan en tener la aproximación de la propiedad, por ejemplo,$L^{p}$, $C(X)$ y así sucesivamente. Sin embargo, P. Enflo (en un verdadero tour de force) ha demostrado que no existen espacios de Banach fallando la aproximación de la propiedad. Un ejemplo claro (identificado por Szankowski) es el espacio de $L(H,H)$ de un espacio de Hilbert separable. Tenga en cuenta que este espacio es el espacio dual de la clase de seguimiento de los operadores. Una famosa pregunta abierta es si el espacio $H^{\infty}(D)$ de los delimitada holomorphic funciones en la unidad de disco tiene la aproximación de la propiedad.
Espero que esto responda a su pregunta. La aproximación de la propiedad se discute en detalle en cualquier libro que trate el tensor de productos de los espacios de Banach. En particular, esto es bien tratada en Ryan libro.
