Sé que hay un post similar, pero estoy tratando de diferentes pruebas. También voy a definir $P$ ser el conjunto de todos los positivos números primos.
Pregunta: Si $\phi$ es de Euler Phi Función, queremos encontrar todos los $n \in \mathbb{Z^+} : \phi(n)=4$.
Respuesta: Vamos a $n=p_1^{n_1}\cdot...\cdot p_k^{n_k}\in \mathbb{Z}^+$ ser la factorización de $n$ a de los números primos. Entonces $$\phi(n)=p_1^{n_1-1}\cdot ...\cdot p_k^{n_k-1}\cdot(p_1-1)\cdot...\cdot (p_k-1)=4$$
Por eso, $\forall i \in \{1,2,...,k \} \implies p_i-1|4 $ . Y de esto, tenemos que
$$p_i-1\in\{1,2,4 \} \implies p_i\in \{2,3,5\} \in P$$ Ahora, podemos ver los números primos que $n$ contenido: $n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}, \ n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}^+$. Así, $$\phi(2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3})=4 \iff \phi(2^{n_1})\phi(3^{n_2})\phi(5^{n_3})=4 \ (*)$$
Los casos posibles para $n_i$ son:
- $n_1=1,2,3\implies \phi(2)=1,\phi(2^2)=2, \phi(2^3)=4$ respectivamente
- $n_2=1 \implies \phi(3)=2$
- $n_3=1 \implies \phi(5)=4$
Todas las posibles combinaciones para la relación $(*)$$\phi(5),\ \phi(5)\phi(2),\ \phi(3)\phi(2^2),\ \phi(2^3)$. Por eso, $n \in \{5,10,12,8\}.$
Es esta completamente a la derecha?
Gracias.
