Escribe la ecuación del plano tangente y calcula la serie de Taylor de la función

Question

Establecer $f(x,y,z) = x + y + z + x^2 + y^2 + z^2$ . Considere la superficie

$$S = \{f(x,y,z) = 0\} \subset \mathbb{R}^3$$

cerca del origen $o = (0,0,0) \in S$ . Escribe la ecuación del plano tangente $T_oS$ . Demostrar que $(y,z)$ forman un sistema de coordenadas locales en $S$ cerca de $o$ y calcular la serie de Taylor de la función

$$g = (x + xy + 3yz)|_S$$ en el punto $o$ en las coordenadas $(y,z)$ hasta el grado $2$ .

Creo que para la primera parte, para calcular el plano tangente necesito diferenciar parcialmente $f$ en el origen, lo que me daría

$$T_oS = \frac{\partial f(o)}{\partial x}(x - o) + \frac{\partial f(o)}{\partial y}(y - o) + \frac{\partial f(o)}{\partial z}(z - o).$$

¿Es esto correcto para esa parte?

Estoy un poco atascado en la segunda parte. ¿Utilizo este espacio tangente para obtener nuevas coordenadas para $x,y,z$ que luego subirá a $g$ y luego tratar de ampliar para conseguir la serie Taylor?

Answer 1

1. Sobre la ecuación del plano tangente : basta con añadir " $=0$ "y será correcto. En efecto, recordemos que cuando un submanifold se define como el conjunto cero de una inmersión (comprobar que $f$ es uno cerca de $0$ es decir, que $Df(0) \neq 0$ ), entonces el plano tangente puede describirse como el núcleo de $Df$ .

2. Para demostrar que $(y,z)$ definir las coordenadas locales : utilizar el teorema de la función implícita. (Entraré en más detalles si lo deseas).

3. Una vez que haya demostrado que $(y,z)$ son coordenadas locales, escriba $x=\phi(y,z)$ donde $\phi$ es la función definida por el teorema de la función implícita. Entonces, observe que para $(x,y,z) \in S$ cerca de 0, $g(x,y,z)=\phi(y,z) + y \phi(y,z) + yz = \psi(y,z)$ y luego calcular las derivadas hasta el orden 2 de $\psi$ . Necesitará los derivados de $\phi$ que puede calcularse a partir de la propiedad $f(\phi(y,z),y,z)=0$ (como es habitual con el teorema de la función implícita).