Cómo mostrar que $\operatorname{span}\{V, W\}$ isomorfo a $V ⊕ W$ si $V\cap W=\{0\}$

Question

Tengo el siguiente problema en álgebra lineal:

Deje $A$ ser un espacio vectorial y $V$, $W$ los subespacios de $A$ tal que $V \cap W = \{0\}$:

Demostrar que $\operatorname{span}\{V, W\} := \{λ_1v + λ_2w : v \in V, w \in W, λ_1, λ_2 \in F\}$ es isomorfo a $V \oplus W$:

[Sugerencia: Muestre que la función $T(v,w) = v + w$ es un isomorfismo lineal.]

Mi problema, por extraño que parezca, es con la sugerencia de sí mismo. No estoy seguro de cómo $T(v,w) = v + w$ puede ser una invertible operador lineal. Sin saber bien $v$ o $w$, no debe haber ninguna manera de recuperarlas desde el resultado del operador. Yo también no veo cómo se puede utilizar para asignar entre el $\operatorname{span}\{V,W\}$ $V\oplus W$ (o viceversa). En efecto, realmente no sé por dónde empezar con el problema.

Answer 1

Considerar los lineales de los mapas $$ V\cap W\ \desbordado{d} {\}\ V\oplus W\ \desbordado{un} {\}\ V+W, $$ donde $d$ envía $x$$(x,-x)$, e $a$ es la adición.

Tenga en cuenta que $d$ induce un isomorfismo de $V\cap W$ sobre el núcleo de $a$, $a$ es surjective.

Esto demuestra que $a$ es bijective si y sólo si $V\cap W=0$.

Answer 2

El mapa en la pista debe ser de$V\oplus W$$\mathrm{span}\{V,W\}$. Por lo que toma un par ordenado $(v,w)$,$v\in V$$w\in W$, y la envía a $v+w$, lo cual es un elemento de $\mathrm{span}\{V,W\}$. Quiere comprobar que el si $T$ se define de esta manera, a continuación, $T$ (a) lineal, (b) surjective, y (c) inyectiva.

(a) Por la linealidad, usted puede comprobar directamente que cumple con la definición.

(b) Para surjectiveness, sería de ayuda tener en cuenta que en su definición de la extensión, $\lambda_1$ $\lambda_2$ no son necesarios, debido al hecho de que $V$ $W$ es cerrado bajo la multiplicación escalar.

(c) es para injectiveness que usted necesita para utilizar la condición de que $V\cap W=\{0\}$. Yo recomiendo usar el hecho de que una lineal mapa es inyectiva si y sólo si el núcleo contiene sólo el vector cero. Así que si usted supone que $T(v,w)=0$, se puede mostrar que el $v=w=0$?

Answer 3

Lineal en el mapa es de 1-1 si el kernel $T^{-1}(0)$$\{0\}$.
Que el mapa de $T$ $V\oplus W$ en el período de $V$ $W$ es lineal y en debe ser fácil.