Demostrar que:$\int_{0}^{1}(1-\sqrt[k]{x})^ndx={1\over {k+n\choose n}}$

Question

Mostrar que

$$I=\int_{0}^{1}(1-\sqrt[k]{x})^ndx={1\over {k+n\choose n}}$$

Yo:

$x=u^k$ $dx=ku^{k-1}du$

$$I=k\int_{0}^{1}(1-u)^n u^{k-1}du$$

$v=1-u$ $dv=-du$

$$I=k\int_{0}^{1}v^n(1-v)^{k-1}dv$$

Usando el teorema binomial para ampliar e integrar término a término es tedioso, ¿alguien puede mostrarme otro de forma fácil y rápida manera por favor? Gracias.

Answer 1

Deje $y=x^{1/k}$ \begin{align} \int\limits_{0}^{1} (1-x^{1/k})^{n} dx &= k\int\limits_{0}^{1} (1-y)^{n} y^{k-1} dy \\ &= k \mathrm{B}(k,n+1) \\ &= \frac{k\Gamma(k)\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+n+1)} \\ &= \frac{k!n!}{(k+n)!} \\ &= {1\over {k+n\choose n}} \end{align}

Hemos usado la beta y gamma funciones.

Answer 2

Por integración por partes, $$ B(a,b) = \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\tag{1} $$ así que si $m$ $n$ son números naturales $$ \int_{0}^{1}x^m(1-x)^{n-1}\,dx = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n+1)} = \frac{m!(n-1)!}{(m+n)!} = \frac{1}{n\binom{m+n}{n}}.\tag{2}$$ Tener una mirada en la función Beta de Euler.

Answer 3

Tal vez usted puede tratar la transformada de Laplace. Deje $f(t)=\int_0^t \tau^a(t-\tau)^b d\tau$, es fácil de calcular,$\mathcal{L}(f)(s)=\frac{a!b!}{s^{a+b+2}}$,$f(t)=\frac{a!b!}{(a+b+1)!} t^{a+b+1}$.

Answer 4

Primero que todo esto es cierto para $n=1$.

Supongamos que es cierto para $n=s-1$. Ahora procedemos a demostrar que esto es cierto para $n=s$.

Ahora $$I_s=\int_{0}^{1}(1-\sqrt[k]{x})^sdx=x(1-\sqrt[k]{x})^s|_0^1+\frac{s}{k}\int_0^1 x (1-\sqrt[k]{x})^{s-1} x^{\frac{1-k}{k} } dx=\frac{s}{k}\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{k}}(1-\sqrt[k]x)^{s-1}=-\frac{s}{k}\int_{0}^{1}-x^{\frac{1}{k}}(1-\sqrt[k]x)^{s-1}=-\frac{s}{k}\int_{0}^{1}(1-x^{\frac{1}{k}})(1-\sqrt[k]x)^{s-1}+\frac{s}{k}I_{s-1}=-\frac{s}{k}I_s+\frac{s}{k}I_{s-1}$$ A continuación, $$I_s \frac{s+k}{k}=\frac{s}{k}{1\over {k+s-1\choose s-1}}$$ Por lo tanto $$I_s=\frac{s}{s+k}\times \frac{(s-1)!k!}{(k+s-1)!}=\frac{s!k!}{(s+k)!}=\frac{1}{s+k \choose s}$$

Por lo tanto, Esto es cierto para todos los $n$