Calcular el límite de uso de Riemann integral

Question

Algunos de los límites que son fáciles de ver, pero quiero usar Riemman, integral para determinar el valor de los siguientes límites. $$\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n})$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}$$ $$\lim_{n\to\infty} (\sin {\frac{n}{n^2+1^2}}+\sin {\frac{n}{n^2+2^2}}+\cdots+\sin {\frac{n}{n^2+n^2}})$$

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Por ejemplo en la primera, supongo que $\int_a^b f(x)dx$ es igual al límite $$\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}) = \lim_{n\to\infty} \sum_{i = 1}^{2n} \frac{1}{n+i} = \lim_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^{2n} f(a+\frac{(b-a)i}{2n})\cdot\frac{(b-a)i}{n}$$ Pero no encuentra nada.

Por favor, no me diga que el método directamente, le agradecería si usted me podría dar alguna crucial sugerencias para una\todos ellos. Muchas gracias.

Answer 1

Para el segundo $ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} = \lim_{n\to \infty} \left( \left( 1 + \frac 1 n \right)\left( 1 + \frac 2 n \right) ... \left( 1 + \frac{n}{n}\right)\right)^{\frac 1 n}$ que es igual a $\displaystyle \lim_{n\to \infty } e^{ \frac 1 n \sum_{k=1}^n\log \left( 1 + \frac k n \right)}$

Answer 2

El $3$rd límite es sencillo por series de Taylor y, a continuación, suma de Riemann $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\sin \frac{n}{n^2+k^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(k/n)^2} + O\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n}{n^2+k^2}\right)^3\right)=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}$$

Answer 3

Para la primera, reescribir $\dfrac{1}{n+k}$$\dfrac{1}{n}\dfrac{1}{1+\frac{k}{n}}$, y traer el común de la $\dfrac{1}{n}$ frente.

Tipo de looks, como una suma de Riemann, el tamaño de paso de $\dfrac{1}{n}$, integrando $\dots$$0$$\dots$. (Podría llenar en el $\dots$, pero por lo que se puede.)