Encontrar cuando $\frac{1}{\pi}\int_0^{j\pi} \frac{\sin t}{t}\,dt - \frac{1}{2}$ es positivo / negativo

Question

¿Podría ayudarme con la siguiente pregunta?

Demuestre que los siguientes números son positivos para $j$ impar y negativo por lo demás: $$\frac{1}{\pi}\int_0^{j\pi} \frac{\sin t}{t}\,dt - \frac{1}{2}$$

Answer 1

Tenemos

$$ \int_0^\infty\frac{\sin t}t\mathrm dt=\frac\pi2 $$

y por lo tanto

$$ \frac1\pi\int_0^{j\pi}\frac{\sin t}t\mathrm dt-\frac12=-\frac1\pi\int_{j\pi}^\infty\frac{\sin t}t\mathrm dt\;. $$

La integración por partes da como resultado

$$ \begin{align} \int_{j\pi}^\infty\frac{\sin t}t\mathrm dt &= \left[-\frac{\cos t}t\right]_{j\pi}^\infty-\int_{j\pi}^\infty\frac{\cos t}{t^2}\mathrm dt \\ &= \frac{(-1)^j}{j\pi}-\int_{j\pi}^\infty\frac{\cos t}{t^2}\mathrm dt\;, \end{align} $$

y luego

$$ \left|\int_{j\pi}^\infty\frac{\cos t}{t^2}\mathrm dt\right|\lt\int_{j\pi}^\infty\frac1{t^2}\mathrm dt=\frac1{j\pi} $$

da el resultado deseado.

Answer 2

Puede que haya una forma mejor de hacerlo, pero podría utilizar las propiedades de la integral del seno: $$\frac{1}{\pi}\int_0^{n\pi} \frac{\sin t}{t} \, dt = \frac{\operatorname{Si}(n\pi)}{\pi}$$ Ampliar $\operatorname{Si}(x)$ alrededor del infinito: $$\operatorname{Si}(x)\sim \sin(x) \left( -\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^5}-\cdots\right) + \cos(x)\left( -\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}-\cdots\right)+\frac{\pi}{2}$$ Pues eso: $$\frac{\operatorname{Si}(n\pi)}{\pi}-\frac{1}{2} \sim \frac{\cos(n\pi)} \pi \left( -\frac{1}{n\pi}+\frac{2}{(n\pi)^3}-\cdots\right)$$ Como el término entre paréntesis es siempre menor que cero, el resultado es el siguiente.