Aquí hay un desglose del caso de las dos minas. Me centro en dos estrategias como los extremos plausibles: la estrategia de 'jugar en una esquina' y la estrategia de 'jugar en el centro'. En primer lugar, un par de hechos pertinentes, incluida una expansión sobre un comentario:
- Si $k\geq 2$ entonces la probabilidad de ganar contra una mina en una cuadrícula de $k$ celdas es $\frac{k-1}k$. Si $k\gt 3$, entonces esta probabilidad no depende de la apertura; cualquier casilla inicial logra esta oportunidad de ganar.
Prueba: obviamente, si la primera celda elegida es la mina (con probabilidad $\frac1k$) entonces el juego se pierde. De lo contrario, si la celda inicial elegida está adyacente a una bomba (y por lo tanto revela un 1) entonces elige una celda a dos o más unidades de distancia de la celda inicial (aquí es donde entra en juego la condición $k\gt 3$); esta celda no puede ser la mina (ya que sabemos que la mina está adyacente a la celda inicial), y la exposición resultante revelará en qué lado de la elección inicial se encuentra la mina. (Nótese que en el caso $k=3$ elegir una esquina todavía gana con probabilidad $\frac23$, pero la elección del centro solo gana con probabilidad $\frac13$.)
- La probabilidad de que la 'izquierda' de las dos minas esté en la celda $k$ en una cuadrícula de $n$ elementos es $\frac{2(n-k)}{n(n-1)}.
Prueba: esto es simplemente el producto de la probabilidad (independiente) de que haya una mina en la celda $k$ (es decir, $\frac2n$) con la probabilidad de que la otra mina esté en las $n-k$ celdas a la derecha de la celda $k$ (es decir, $\frac{n-k}{n-1}$ - nótese que solo hay $n-1$ celdas disponibles para ella, no $n$).
Ahora, esto es suficiente para calcular la probabilidad de ganar el juego de dos minas con la estrategia de la esquina. En su lugar, calcularemos la probabilidad de perder: supongamos que la más a la izquierda de las dos minas está en la posición $k$ (con probabilidad $\frac{2(n-k)}{n(n-1)}$, como se mencionó anteriormente). Entonces, si $k=1$, se pierde el juego; de la misma manera, si $k=n-1$ entonces se gana el juego. De lo contrario, la mina derecha está (uniformemente) entre las $n-k$ celdas a la derecha de esa posición, y por lo tanto efectivamente es ahora un juego de una mina, con una probabilidad de perder de $\frac{1}{n-k}$. Ahora podemos calcular la probabilidad general de perder $P(n)$: $$ \begin{align} P &=\frac2n+\sum_{k=2}^{n-2} \frac{2(n-k)}{n(n-1)}\cdot\frac{1}{n-k}\\ &=\frac2n+\sum_{k=2}^{n-2}\frac{2}{n(n-1)} \\ &=\frac2n+\frac{2(n-3)}{n(n-1)} \\ &=\frac{2(n-1)}{n(n-1)}+\frac{2(n-3)}{n(n-1)} \\ &=\frac{2\bigl((n-1)+(n-3)\bigr)}{n(n-1)} \\ &=\frac{4(n-2)}{n(n-1)} \\ \end{align} $$
El análisis del caso 'jugar en el centro' es similar, pero mucho más complicado. Para mayor conveniencia, voy a elegir que $n$ sea impar, para que tengamos un centro exacto, y escribir $n=2m+1$; así, hay $m$ celdas a cada lado de la celda de la primera jugada. Además, en lugar de hablar en términos de probabilidades, hablaré en términos de posiciones - con la suposición de que hay $n(n-1) = 2m(2m+1)$ posiciones totales (es decir, las minas están etiquetadas, es decir, distinguibles). Nuevamente, calcularemos las posiciones perdedoras:
- Hay $2(n-1) = 2(2m)$ posiciones donde la primera jugada pierde de inmediato (se puede golpear a la mina A o a la mina B, y la otra puede estar en $n-1$ posiciones diferentes).
- Hay $2(m-1)^2$ posiciones donde la primera jugada gana de inmediato cuando las dos minas están a cada lado del centro pero no adyacentes a él.
- Hay $2$ posiciones adicionales donde la primera jugada gana de inmediato cuando las dos minas están a cada lado del centro y son adyacentes a él.
- Hay $2\cdot2\cdot (n-3) = 8\cdot (m-1)$ posiciones donde la primera jugada revela un
1: cualquiera de las minas puede estar a cada lado de la celda central, y hay $(n-3)$ cuadrados disponibles para la otra mina (la celda central y las celdas a cada lado de ella están prohibidas). Este caso puede requerir un análisis más detallado más adelante (sospecho que una estrategia basada en elegir una celda a dos de distancia del centro puede ser más fructífera), pero una estrategia aquí es simplemente seleccionar ambas esquinas (debería ser obvio que seleccionar ambas no puede perjudicarte en lugar de seleccionar una); esto produce 8 configuraciones perdedoras en total (una de las dos minas adyacente en una de las dos celdas junto al centro, con la otra mina en una de las dos esquinas) con el resto ganando.
- Finalmente, están las configuraciones donde ambas minas están en el mismo lado y se obtiene información al respecto (es decir, la celda central no es adyacente a una mina, pero aún no hemos ganado). Estos claramente se reducen a un juego de una mina (similar a la estrategia de la esquina) jugado en el 'lado lejano' de la celda que resulta en un
1: para cada $k$ de $3$ a $m-1$ (representando los lugares válidos para que la mina más cercana esté: $k=1$ es inválido, $k=2$ siempre dará una estrategia ganadora y $k=m$ ha sido cubierto en el caso anterior), obtenemos $(k-1)$ posiciones para la otra mina, una de las cuales será letal para la estrategia de una mina; dado que cualquiera de las minas puede ser la más cercana y las dos minas pueden estar (juntas) a cada lado del centro, esto produce un total de $4(m-3)$ configuraciones perdedoras en general.
Por lo tanto, obtenemos un conteo total de configuraciones perdedoras de $4m+8+4(m-3) = 8m-4 = 4(n-2)$, y exactamente como en el caso de la esquina, una probabilidad de $\frac{4(n-2)}{n(n-1)}$ de perder el juego.
Esto sugiere fuertemente que la estrategia de las 2 minas es igualmente independiente de la apertura que la estrategia de una mina; no he analizado la posible estrategia alternativa en el caso en que el movimiento inicial revela un 1, pero es plausible que eso no ofrezca ninguna mejora sobre la estrategia de 'ambas esquinas'. Al menos está claro que la estrategia de 'abrir en el centro' no va peor que la estrategia de 'abrir en la esquina'.
