Aritmética ; $p-1 \mid q$ equivalente a $(p-1)^2 \mid p^q - 1$

Question

Tengo un problema con este ejercicio :

profe que $p-1|\space q \iff (p-1)^2|\space p^q - 1$

Tengo éxito para el profesor que $(p-1)^2|\space p^q - 1 \implies p-1|\space q$

gracias ^^

Answer 1

$\rm{\bf Hint}\:\ (p\!-\!1)^2\! \mid p^q\!-1 \!\iff\! p\!-\!1\ \bigg|\ \dfrac{p^q\!-1}{p\!-\!1} = p^{q-1}\! +\cdots\!+p\! +\! 1\equiv 1+\cdots\!+1$ $\rm\equiv q\ (mod\ p\!-\!1)$

Como me explicó que tiene una bonita vista conceptual como un caso especial de un derivado de prueba para varias raíces.

Answer 2

Desde $p^q-1=(p-1)(p^{q-1}+\cdot\cdot\cdot+1)$, nos encontramos con que $\frac{(p^q-1)}{(p-1)^2}=\frac{p^{q-1}+\cdot\cdot\cdot+1}{p-1}$. Por lo tanto, si $p-1$ divide $q$, $p^q-1$ es un múltiplo de a $p^{p-1}-1=(p^{p-2}+\cdot\cdot\cdot+1)(p-1)$, el cual es divisible por $(p-1)^2$.
En el otro sentido, desde la $p^{q-1}+\cdot\cdot\cdot+1\equiv q \pmod{p-1}$, nos encontramos con que $(p-1)^2$ divide $p^q-1$ si y sólo si $p-1$ divide $q$.
Así que esto termina la prueba.

Answer 3

Acabo de probar la otra mitad.
Observe que: $$p^n=(p-1)(p^{n-1}+\cdots+1)+1\quad(n\in\mathbb{N}^+)$$ por lo tanto, $p^n\equiv1\pmod{p-1}$ (También es cierto para $n=0$). $$p^q-1=(p-1)(p^{q-1}+\cdots+1)$$ por lo $p^{q-1}+\cdots+1\equiv q\equiv0\pmod{p-1}$.
que es $$p-1\mid p^{q-1}+\cdots+1$$ Q. E. D.

Answer 4

$p = 1 \mod (p-1)$
También, vamos a $r = \dfrac{p^q - 1}{p-1} = p^{q-1} + p^{q-2} + \dots + p + 1$
Entonces $ r = 1 + 1+ \dots + 1 + 1$, $q$ veces $\mod (p-1)$
O $ r = q = 0 \mod (p-1)$ $(p-1) \mid q$

Por lo tanto $(p-1)^2 \mid (p-1)r = p^q - 1$