Cómo encontrar los números positivos $n$ tal que $n!=\overline{1999a_{1}a_{2}\cdots a_{k}\cdots}$

Question

Pregunta:

encontrar todos los enteros positivos $n$ tal $$n!=\overline{1999a_{1}a_{2}\cdots a_{k}\cdots}$$ donde $a_{i}\in[0,9]$ (o sea $n!$ los cuatro dígitos de la izquierda son $1999$ )

Creo que $$n!\approx\dfrac{n^n}{e^n}\sqrt{2n\pi}?$$

Tengo el uso de la computadora encontrado $n!<10^8$ no existe. Así que tal vez esto $n$ no existe?

Answer 1

Aquí hay una solución rápida para esto en R $($ aunque depende de la aritmética de punto flotante $)$ :

n = log(1:100000, 10)
logf = cumsum(n)
first.four = floor(10^(logf-floor(logf))*1000)
which(first.four == 1999)

La salida es

15998  19796  20030  20678  24284  25809  28019 
28956  30752  31432  33289  38840  51822  52487 
53962  56006  56660  59986  69481  69557  70232 
88184  94462

que son los números menores que $10^5$ cuyos factoriales comienzan por $1999$ .

$($ Tenga en cuenta que esto no es perfecto, debido a la dependencia del punto flotante; por ejemplo, me dice que los primeros cuatro dígitos de $4!$ son $2399$ no $2400.)$

Por cierto, los factoriales obedecen Ley de Benford y por eso se espera que sobre $\log_{10} 2 - \log_{10} 1.999 \approx$ $\approx 0.00022$ de los factoriales, a la larga, comenzaría con los dígitos $1999$ . Hay $23$ aquí.

Answer 2

Utilizar un ordenador $^*$ podemos encontrar que $$15998! = 1999638128545238518 \dots$$

( $^*$ ) Haskell one-liner:

find (\(a,xs) -> take 4 (show xs) == "1999") $ zip [0..] (scanl (*) 1 [1..])