Dado $c_{i} \rightarrow c$, probar si $c \ge 0$ $\limsup c_{i} a_{i} = c \limsup a_{i}$

Question

Deje $a_{i}$ ser una secuencia de números reales y supongamos que $\limsup a_{i}$ es finito. Deje $c_{i}$ ser de otra secuencia y supongamos $c_{i}$ converge a $c$. Probar que si $c \ge 0$,$\limsup c_{i} a_{i} = c \limsup a_{i}$ .

Trabajé en el caso de que $c_{i}$ es no negativo. No está seguro de qué hacer si tanto $a_{i}$ $c_{i}$ son negativos. Gracias!

Answer 1

De hecho, si nos permiten tanto $c_i$ $a_i$ negativo y que no tienen restricciones distintas de las dadas, la afirmación no es verdadera.

Tome $c_i = -\frac{1}{i}$ (de modo que $c_i\rightarrow 0$) y $a_i = 0$ si $i$ es impar, mientras que $a_i = -i$ si $i$ es incluso. A continuación,$\limsup a_i = 0$, pero $\limsup c_ia_i = 1$.

Si se requiere también que el $\liminf a_i$ es finito, entonces $c_i\rightarrow 0$ implica que el $a_ic_i\rightarrow 0$. Si $c_i\rightarrow c>0$ $c_i$ finalmente es positivo, que es el caso de que usted ya sabe.