Al final del capítulo 1 de los Principios de Análisis Matemático, Rudin ofrece una prueba de la construcción de los números reales. El primer paso en la prueba es para definir los miembros de $\mathbb{R}$ que son subconjuntos de a $\mathbb {Q}$ conocido como cortes. Rudin da la siguiente definición de un corte:
- $\alpha$ no está vacío, y $\alpha \neq \mathbb{Q}$.
- Si $p \in \alpha, q \in \mathbb {Q}$, e $q < p$, $ q \in \alpha$
- Si $p \in \alpha$, $p < r$ algunos $r \in \alpha$.
Las letras $p, q, r, \ldots$ siempre denotan los números racionales, y $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ indican cortes.
Mi pregunta es la siguiente: No la definición de la corte siempre llevan a la conclusión de que cada corte contiene todos los números racionales?
En otras palabras, que el $\alpha = \mathbb {Q}$ todos los $\alpha$?
La tercera propiedad de los recortes, siempre y cuando muestra que no hay ningún elemento maximal en un corte. La segunda propiedad implica que dado un elemento en un corte, todos los números racionales a menos de que los elementos están en la corte. No esta claramente implica que los recortes incluyen todos los racionales?
Estaba esperando que alguien podría aclarar esto. Gracias.
