¿Esta expresión integral tiene sentido?

Question

Me pregunto si esta expresión tiene cierta importancia:

$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{|x|}}$$

Y, en general, si las expresiones de la forma siguiente sentido:

$$\int_a^b f(x) dx$$

Donde la $(a, b)$ contiene los puntos del dominio de $f(x)$.

De acuerdo a las definiciones que yo sé, estos no son ni definido ni impropias integrales, por lo que la expresión no tiene ningún sentido.

Pero en el caso de que la integral existe, podría usted por favor decirme:

1. De que tipo es?
2. Es el siguiente ecuación verdadera? $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{|x|}} = \int_{-1}^0 \frac{dx}{\sqrt{|x|}} + \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{|x|}}$
3. Es un área de?
4. Si no, ¿cuál es el área de $\frac1{\sqrt{|x|}}$?

ACTUALIZACIÓN 1: estoy diciendo que $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{|x|}}$ no es una integral impropia es debido a la siguiente definición (tomado de Wikipedia):

[...] una integral impropia es el límite de una integral definida como un extremo del intervalo(s) de la integración de los enfoques ya sea un determinado número real o ∞ o −∞ [...]

-1 y 1 son los extremos de mis integral, pero aquí el problema es de 0. Tal vez, es que la definición incorrecta o incompleta?

ACTUALIZACIÓN 2: he sustituido $\frac1x$$\frac1{\sqrt{|x|}}$, por lo que mis preguntas sobre la zona, hace más sentido.

ACTUALIZACIÓN 3: no estoy particularmente interesado en calcular el valor de la integral, lo que realmente quiero saber es ¿qué es esa cosa. Una respuesta ideal sería incluir una válida y coherente de la definición matemática de las integrales de este tipo.

Answer 1

Considerar el valor principal de Cauchy

$$ \lim_{\epsilon \to 0}\left(\int_{-1}^{-\epsilon}\frac{1}{x}+ \int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}\right)=0 $$

Answer 2

La palabra "incorrecto" se refiere a una extensión de la integral de Riemann, así que estoy asumiendo que es lo que están hablando. La integral de Riemann sólo está definida para las funciones en un intervalo finito (como $[-1,1]$) que están delimitadas (que $1/\sqrt{|x|}$ no lo está). Si su función o intervalo es ilimitado, la única manera de hacer sentido de que el uso de las integrales de Riemann es dividir el intervalo en un número finito de subintervalos (como$[-1,1]$$[-1,0)\cup (0,1]$) para conseguir la impropia de Riemann integral en cada intervalo, donde aquí por una mala integral me refiero a $$\int_a^b f(x)dx:=\lim_{\alpha\to a+}\lim_{\beta\to b-}\int_\alpha^\beta f(x)dx.$$ Este parece ser rara vez se dijo o se define en los libros de texto, a pesar de los ejercicios acerca de la evaluación de las integrales como $\int_{-1}^1\dfrac1{\sqrt{|x|}}dx$ comúnmente se da en los exámenes. El consenso común es llamar a estas integrales impropias así, pero si usted quiere ser capaz de responder con un sí definitivo o no, usted tiene que elegir un libro de texto y el uso de las definiciones que utiliza. Los diferentes libros de texto a menudo definir las cosas de una manera ligeramente diferente. En particular, no todos los artículos de Wikipedia están escritos por la misma persona, por lo que puede ser inconsistente, a veces (a pesar de su artículo de la Wikipedia que hace el estado " Integrales son también inapropiado si el integrando es indefinido en un punto interior del dominio de integración, o en múltiples puntos." en la introducción).

Si usamos la integral de Lebesgue en su lugar, entonces la integral de unbounded funciones sin límites de los intervalos ya puede ser definido, por lo $\int_{-1}^1\dfrac1{\sqrt{|x|}}dx$ tiene una integral de Lebesgue y no necesita ser llamado inadecuado. La integral de Lebesgue incluso permite que su función sea indefinido o infinito en un pequeño conjunto de puntos (que $1/\sqrt{|x|}$$0$).

$\int_{-1}^1\dfrac1x dx$ sin embargo, se aparta tanto impropia integral de Riemann y la integral de Lebesgue. Como otros han mencionado, no es otra extensión de la integral de Riemann se llama el principal valor en $0$, lo que le da el valor de $0$. Mi entendimiento es que los valores principales son rara vez utilizados, salvo a veces en la física.

Answer 3

Edit: lo que sigue es parcialmente incorrecta. La única manera de dar un sentido a la integral es utilizar el concepto de valor principal de Cauchy.

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Su ejemplo específico. En primer lugar, no veo ninguna razón para no llamar a un inadecuado integral; en segundo lugar, sin duda, la descomposición de escribir en 2. es perfectamente válido: $$ \int_{-1}^1 \frac1x dx= \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\Bigg(\int_{-1}^{-\epsilon}\frac1x dx + \int_\epsilon^1 \frac1x dx\Bigg) $$ El cambio de variable de $x$ $-x$en la primera integral se vea que el paréntesis es $0$. Debido a la simetría del integrando, podemos decir que el resultado es exactamente $0$. (tal vez estoy siendo no riguroso aquí?)

En consecuencia, el área es $0$ como bueno, en realidad es una firma de área.

Por el contrario, $\displaystyle\int_{-1}^1\left|\frac1x\right|\; dx$ es una divergente integral.

En general, todavía tiene sentido definir las integrales de funciones que son únicas en el camino de la integración. Entonces puede ser que la integral es divergente y lo mejor que puedes hacer es definir su principal valor, teniendo un límite de analógica a la que he escrito arriba.