Dado $f(x)=\int_5^x \sqrt{1+t^2}\,dt$ encuentra $(f^{-1})'(0)$

Question

Si $f(x)=\int_5^x \sqrt{1+t^2}\,dt$ encuentra $(f^{-1})'(0)$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora. He tomado $f'(x)=(1+x^2)^{1/2}$ y he encontrado $1/f'(0)$ que debería ser igual a $1$ . Pero no creo que esta sea la respuesta definitiva. Tengo problemas para continuar y llegar al final.

He editado la integración de 0 porque se suponía que era 5. lo siento por eso

Answer 1

Hagámoslo paso a paso.

Paso 1) $\sqrt{1+t^2}$ es una función continua positiva, por lo que $f(x)$ es una función diferenciable creciente;

Paso 2) $f(5)=0$ debido al paso 1, la función inversa de $f$ existe en una vecindad de cero y es una función diferenciable creciente;

Paso 3) Sea $g$ sea la función inversa de $f$ del paso 2 tenemos $g(0)=5$ . Puesto que en una vecindad de cero $$ f(g(x)) = x $$ se mantiene, la diferenciación da: $$ g'(x)\cdot f'(g(x)) = 1$$ de la cual: $$ g'(0) = \frac{1}{f'(5)} $$ y sólo tenemos que encontrar $f'(5)$ .

Paso 4) Sea $F(t)$ sea una primitiva de $\sqrt{1+t^2}$ . Entonces: $$ f(x) = F(x) - F(5), $$ de ahí que la diferenciación y el teorema fundamental del cálculo den: $$ f'(x) = F'(x) = \sqrt{1+x^2}, $$ así que $f'(5)=\sqrt{26}$ y $$ g'(0) = \frac{1}{\sqrt{26}}.$$

Answer 2

Necesitas $f^{-1}(0)$ lo que significa que necesita $x$ para lo cual $f(x)=0$ .
Entonces su respuesta es $1/f\,'(f^{-1}(0))$

Answer 3

Pista: Sustituyendo $$u=\sqrt{1+t^2}-t,\implies t=\frac{1-u^2}{2u}$$ ,

la integral se convierte en,

$$\begin{align} f(x) &=\int_{5}^{x}\sqrt{1+t^2}\,\mathrm{d}t\\ &=-\int_{\sqrt{26}}^{\sqrt{1+x^2}-x}\frac{u+\frac{1}{u}}{2}\cdot\frac{u^2+1}{2u^2}\,\mathrm{d}u\\ &=-\int_{\sqrt{26}}^{\sqrt{1+x^2}-x}\frac{(u^2+1)^2}{4u^3}\,\mathrm{d}u. \end{align}$$

Ahora tienes $f(x)$ escrita como una integral de una función racional, que puede evaluarse de la manera habitual. Obtener una fórmula explícita para $f$ y luego hallar su inversa.

Answer 4

En primer lugar, observe que la función $f(x)$ aumenta para $x\in(-\infty,\infty)$ (ya que $f'(x)>0$ ), lo que implica que la inversa existe. Escribamos

$$f(x) =g(x), $$

donde

$$ g(x) = \int_{5}^{x}\sqrt{1+t^2}dt. $$

Procediendo como

$$ f(x)=g(x) \implies x = f^{-1}(g(x)) \implies 1= (f^{-1}(g(x)))'g'(x)$$

$$ \implies (f^{-1}(g(x)))' = \frac{1}{g'(x)} . $$

Obsérvese que queremos la derivada de la función inversa en $0$ eso significa que deberíamos tener $g(x)=0$ lo que implica $x=5$ (Consulte la definición de $g(x)$ ). Así pues, tenemos

$$ (f^{-1})' = \frac{1}{g'(0)} = \frac{1}{\sqrt{26}}. $$

Answer 5

Si $(x, y)\in D_f$ entonces $(y, x)\in D_{f^{-1}}$ . Por lo tanto $${(f^{-1})}'(0)=\frac{1}{{(f)}'(5)}$$ también $f'(x)=\sqrt{1+x^2}$ Por lo tanto $${(f^{-1})}'(0)=\frac{1}{{(f)}'(5)}\frac{1}{\sqrt{26}}$$