Qué fracción de los fondos de una apuesta?

Question

Digamos que tenemos un jugador que hace dinero a través de las apuestas deportivas. Mi objetivo es desarrollar un modelo para ayudar a nuestro jugador maximizar sus ganancias y minimizar las pérdidas.

En mi modelo, en lugar de apostar una cantidad fija de dinero, el jugador apuesta una cierta fracción de $0 < r < 1$ de su actual apuesta del fondo. Él continúa apostando a que la fracción como su fondo de apuestas aumenta o disminuye hasta que se retira después de un cierto número de sesiones de $n$.

El jugador inicial del fondo deberá ser $F_0$. Su fondo después de $i$ sesiones deberá ser $F_i$.

Su probabilidad de hacer una predicción correcta deberá ser $0 < p < 1$. Si nuestro jugador tenía un $p$ $0$ o $1$, la modelo sería inútil.

El promedio de las probabilidades con las que nuestro jugador se ocupa es $a > 1$.

El jugador del mínimo de ganancia deseado sobre el dinero en efectivo es $T$.

$$T \le F_n - F_0 \tag{1}$$

Si expresamos todo como un múltiplo de $F_0$, $(1)$ puede ser reescrita como:

$$T \le F_n - 1 \tag{1.1}$$

De ello se desprende que los siguientes son conocidos: $T$, $a$, $F_0$, $p$.

Debería de ser nuestro jugador pierde una particular sesión de decir $i+1$,

$$F_{i+1} = (1-r)F_i \tag{2.1}$$

Él debe ganar esa sesión en concreto

$$F_{i+1} = F_i(1-r + ra) \tag{2.2}$$

Dado que el jugador juega $n$ sessioms antes de cobrar.

Su número esperado de la gana = $p*n$ $(3.1)$

Su número esperado de pérdidas = $(1-p)*n$ $(3.2)$

Ahora hay muchas maneras diferentes para distribuir el jugador las pérdidas y las ganancias{$n \Bbb P pn$} y mientras que el cálculo de todos los escenarios y encontrar promedio de $F_n$ puede ser ideal, es computacionalmente muy costoso. Así que me decidí a la mierda, me voy a modelar el problema suponiendo que las pérdidas que tienen lugar en la peor manera posible( espalda con espalda en el comienzo del partido).

El jugador de los ingresos después de $n$ partidos está dado por la fórmula:

$F_n = (1-r)^{(1-p)n}\{(1-r)+ra\}^{pn}$ $(4)$

Ahora sabemos que nuestro jugador quiere hacer un beneficio mínimo de $T$ así que transformar $(4)$ en una desigualdad en el uso de $(1.1)$

Obtenemos:

$(1-r)^{(1-p)n}\{(1-r)+ra\}^{pn}$ $ \ge T + 1$ $(4.1)$

Tomando el logaritmo Natural de ambos lados, me sale:

$ln(1-r)*(1-p)(n) + ln(1-r + ra)*pn \ge ln(T+1)$ $(4.2)$

$n\{ln(1-r)(1-p) + ln(r(a-1)+1)(p) \} \ge ln(T+1)$ $(4.3)$

Dar las restricciones sobre las variables y constantes, quiero determinar el valor mínimo de $n$ y el valor máximo de $r$ que satisface $(4.1) / (4.3)$ (lo que es más fácil de resolver) para cualquier $T$, $a$, $p$.

EDICIÓN PRINCIPAL

Gracias a @Rodrigo de Azevedo, descubrí el Criterio de Kelly. Yo estaba vendido, y decidió ponerlo en práctica en mi método de juego de azar.

Para los fines de mi método de Kelly criterio está dado por:

$r_i = p - $ ${1 - p}\over{a_i - 1}$ $(5)$

Donde:

$r_i$ es la proporción en la sesión de $i$

$a_i$ es las probabilidades en sesión de $i$

Ahora $r: 0 \lt r \lt 1$ $(5.1)$

La aplicación de $(5.1)$ $(5)$obtenemos:

${p(a - 1) - (1 -p)}\over{a - 1}$ $ \gt \frac{0}{1}$

Cruz de multiplicar.

$p(a-1) - (1 - p) \gt 0(a-1)$

$pa - p - 1 + p \gt 0$

$pa - 1 > 0$

$pa > 1$

$p > 1/a$ $(5.2)$

Ahora que eso está fuera de la forma, todavía tenemos el problema de la determinación de mínimo $n$ de tal manera que podamos obtener un beneficio $ \ge T$.

Con el fin de hacer esto, vamos a asumir una "media" valor de$a$, a continuación, encontrar el mínimo valor de $n$ que satisface $(4.1)$

Debido al hecho de que no se conocen las probabilidades de los partidos por adelantado, la media de las probabilidades en $i$ dice $a_{\mu i}$ no puede ser la media de las probabilidades en $n$ $a_{\mu n}$. Con el fin de proteger en contra de esto(y porque no soy un gran tomador de riesgo), voy a asumir un valor de $a_{\mu}$, que es menor que $a_{\mu}$ llama $a_{det}$.

$a_{det} = a_{\mu} - k\sigma$

Donde $a_{\mu}$ es la Media Geométrica frente a la media aritmética de las probabilidades y $\sigma$ asociados S. D

Usando la Desigualdad de Chebyshev, al menos $k^{2} - 1 \over k^2$ de la distribución de las probabilidades se encuentran por encima de $a_{det}$.

Escoger un $k$ $2.5$

$2.5^{2}-1\over 2.5^{2}$

$0.84$

Así que nuestro $a_{det}$ es inferior al menos $84$% de la distribución de las probabilidades. Esto es lo suficientemente seguro para mí.

$a_{det} = a_{\mu} - 2.5\sigma$

El uso de $a_{det}$, vamos a calcular el mínimo de la $n$ que satisface $(4.1)$

Subbing $5$ $a_{det}$ a $(4.1)$ obtenemos:

$\left(1-\left(p - \frac{1-p}{a_{det}-1} \right) \right)^{n - np} \cdot \left(\left(p - \frac{1-p}{a_{det}-1} \right)\cdot(a_{det} - 1)\right)^{np}$ $ \ge T + 1$ $(6.0)$

Esto se puede simplificar más: $\left({a_{det}-1-(pa_{det}-1)}\over{a_{det}-1}\right)^{n(1-p)}\cdot\left(pa_{det}-1+1\right)^{np}$

$\left({a_{det}-pa_{det}}\over{a_{det}-1}\right)^{n(1-p)}\cdot\left(pa_{det}\right)^{np}$

$\left(\left(\frac{a_{det}*(1-p)}{a_{det}-1}\right)^{n(1-p)}\cdot\left(pa_{det}\right)^{np}\right)$ $(6.1)$

P. S debido a mi particularmente baja $a_{det}$ estamos más probable es que hacen mucho más beneficios que la $T$, pero que la carga mejor que la elección de un superior $a_{det}$ y de hacer menos.

Answer 1

Dado

• odds $\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n > 1$.
• las probabilidades de ganar $p_1, p_2, \dots, p_n \in [0,1]$.

vamos

• $X_0, X_1, \dots, X_n$ ser variables aleatorias que denotan el fondo del tamaño de paso $k$.
• $u_k \in [0,1]$ ser la fracción del fondo que se ponen en juego en el paso $k$. Deje $u_k$ dependen exclusivamente de los $\omega_k$$p_k$, y no en $X_{k-1}$. Por lo tanto, $u_k$ es no una variable aleatoria.

Por lo tanto, tenemos el tiempo discreto proceso estocástico

$$X_k = \begin{cases} (1 + (\omega_k - 1) \, u_k) \, X_{k-1} & \text{with probability } p_k\\\\ (1 - u_k) \, X_{k-1} & \text{with probability } 1-p_k\end{cases}$$

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Maximizing the expected return

The return at step $k$ is, thus,

$$R_k := \frac{X_k - X_{k-1}}{X_{k-1}} = \frac{X_k}{X_{k-1}} - 1 = \begin{cases} (\omega_k - 1) \, u_k & \text{with probability } p_k\\\\ - u_k & \text{with probability } 1 - p_k\end{cases}$$

Taking the expected value of the return, we obtain

$$\mathbb E (R_k) = (\omega_k - 1) \, u_k \, p_k - u_k \, (1 - p_k) = (\omega_k \, p_k - 1) \, u_k$$

Maximizing the expected value of the return,

$$\bar{u}_k := \arg \max_{u_k \in [0,1]} \mathbb E \left( R_k \right) = \arg \max_{u_k \in [0,1]} (\omega_k \, p_k - 1) \, u_k = \begin{cases} 1 & \text{if } \omega_k \, p_k - 1 > 0\\ 0 & \text{if } \omega_k \, p_k - 1 \leq 0\end{cases}$$

where $\omega_k \, p_k - 1$ is the expected profit per unit bet at step $k$. Thus, the optimal betting policy, $\bar{u}_k = \pi\omega_k, p_k)$, is

$$\boxed{\pi (\omega, p) := \begin{cases} 1 & \text{if } \omega \, p > 1\\ 0 & \text{if } \omega \, p \leq 1\end{cases}}$$

En palabras,

• cuando el beneficio esperado es no positivo, se apuesta nada.
• cuando el beneficio esperado es positivo, vamos todos en.

Huelga decir que esta es una muy agresiva política de juego. Sería sabio para maximizar la otra de la función objetivo.

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La maximización de la esperada de crecimiento logarítmico

Tomando el valor esperado del logaritmo del crecimiento en el paso $k$,

$$\mathbb E \left[ \log \left( \frac{X_k}{X_{k-1}} \right) \right] = \mathbb E \left[\log (1 + R_k)\right] = p_k \log \left( 1 + (\omega_k - 1) \, u_k \right) + (1 - p_k) \log \left( 1 - u_k \right)$$

Using SymPy to find where the derivative with respect to $u_k$ vanishes,

>>> from sympy import *
>>> p, u, w = symbols('p u w')
>>> f = p * log(1 + (w-1) * u) + (1 - p) * log(1 - u) 
>>> diff(f,u)
  p*(w - 1)     -p + 1
------------- - ------
u*(w - 1) + 1   -u + 1
>>> solve(diff(f,u),u)
 p*w - 1 
[-------]
  w - 1  

Hence,

$$\bar{u}_k := \arg \max_{u_k \in [0,1]} \mathbb E \left[ \log \left( \frac{X_k}{X_{k-1}} \right) \right] = \begin{cases} \dfrac{\omega_k \, p_k - 1}{\omega_k - 1} & \text{if } \omega_k \, p_k - 1 > 0\\\\ 0 & \text{if } \omega_k \, p_k - 1 \leq 0\end{cases}$$

where $\omega_k \, p_k - 1$ is the expected profit per unit bet at step $k$. This is the Kelly betting policy [0]

$$\boxed{\pi (\omega, p) := \begin{cases} \dfrac{\omega \, p - 1}{\omega - 1} & \text{if } \omega \, p > 1\\\\ 0 & \text{if } \omega \, p \leq 1\end{cases}}$$

We again bet nothing when the expected profit is non-positive, but we no longer go all in when the expected profit is positive. Note that

$$\dfrac{\omega \, p - 1}{\omega - 1} = 1 - \left(\frac{\omega}{\omega - 1}\right) (1 - p) \leq 1$$

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Referencia

[0] Edward O. Thorp, El Criterio de Kelly en el Blackjack, las Apuestas Deportivas, y el Mercado de valores, La 10ª Conferencia Internacional sobre los juegos de Azar y la Toma de Riesgos, Montreal, junio de 1997.

Answer 2

Para encontrar el mínimo de $n$ que satisface $(6.1)$.

$\left(\left(\frac{a_{det}∗(1−p)}{a_{det}−1}\right)^{n(1−p)}\cdot\left(pa_{det}\right)^{np}\right) \ge T+1$ $(6.1)$

En el lado izquierdo, $n$ es un exponente común. Tomar el logaritmo natural de ambos lados

$ln\left(\frac{a_{det}∗(1−p)}{a_{det}−1}\right)\cdot{n(1−p)} + ln\left(pa_{det}\right)\cdot{np} \ge ln(T+1)$

Factorise LHS con $n$.

$n\left(ln\left(\frac{a_{det}∗(1−p)}{a_{det}−1}\right)\cdot(1−p) + ln\left(pa_{det}\right)\cdot p\right) \ge ln(T+1)$ $(6.2)$

La reescritura de $(6.2)$

$n \ge \left({ln(T+1)}\over{ln\left(\frac{a_{det}∗(1−p)}{a_{det}−1}\right)\cdot(1−p) + ln\left(pa_{det}\right)\cdot p}\right)$ $(6.3)$

Presto.

Me di cuenta de esto funcionó porque Kelly criterio objetivo para maximizar el rendimiento esperado de crecimiento logarítmico.