Encontrar los vectores propios correspondientes a un autovalor

Question

Sé cómo encontrar los vectores propios correspondientes a un valor propio de una matriz de $A$: nosotros, básicamente, necesitamos encontrar los vectores de la nullspace de $\lambda I - A$, pero en mi caso, tengo una matriz de $A$ como este:

$$A = \left(\begin{matrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 7\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x\end{matrix}\right)$$

y no puedo multiplicar el componente individual de las matrices.

He encontrado los eigen valores de $\lambda = 3$ $\lambda = 7$ para la matriz $A$, ahora ¿cómo puedo encontrar el eigen vectores, sin multiplicar $A$ primero?

Answer 1

Ha $A=TDT^{-1}$. En esta ecuación $T$ es la base de la transformación de la matriz de la norma base en el vector propio.

Cuando se transforman a partir de la base $\{\vec b_1,\ldots,\vec b_n\}$ en el estándar de base $\{\vec e_1,\ldots,\vec e_n\}$, entonces la matriz de transformación que tiene la forma de $(\vec b_1, \ldots \vec b_n)$ - los vectores columna de la matriz de transformación son exactamente los vectores de la base está transformando.

Así, el autovector base son los vectores columna de a $T^{-1}$, es decir, $$b_1=\binom{\cos(x)}{-\sin(x)}, b_2=\binom{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Answer 2

Observe que la primera matriz actúa como una rotación de $x$ radianes en sentido antihorario, y la tercera matriz actúa una rotación de $x$ radianes en sentido horario. Son inversos y se cancelan uno al otro. Significado: $A$ gira en una dirección, a continuación, hacer un tramo, luego de cancelar la primera rotación. Geométricamente es fácil convencer a ti mismo que estas matrices conmutan. Essentialy, $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 7\end{pmatrix},$ y el resultado es obvio.

Answer 3

Según la notación de la que he aprendido en mi curso de álgebra lineal, sólo en caso de que sea útil.

Deje $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ un endomorfismo de $\mathbb R^2$, y deje $A$ de los asociados de la matriz de $f$ en alguna base $\beta=\{e_1,e_2\}$.

Deje $B=\{u_1,u_2\}$ otros base de $\mathbb R^2$ tal que $B=\beta P$ regular $P$, esto es:

$$\begin{pmatrix}u_1&u_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e_1&e_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}$$ donde $(a_{11},a_{21})$ $(a_{12},a_{22})$ (las columnas de a $P$) son las coordenadas de los vectores $u_1$ $u_2$ en base a la $\beta$ respectivamente.

Entonces, la matriz asociada a $M$ $f$ es la base $B$ es igual a: $$M=P^{-1}AP\iff A=PMP^{-1}$$ Ahora, si $M$ es diagonal, entonces $B$ es un autovector de base, por lo que las coordenadas de a$u_1,u_2$$\beta$, en este problema, son las columnas de: $$P=\begin{pmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{pmatrix}$$

Nota: los vectores que Wolfram|Alpha da y estos son linealmente dependiente: $u_1$ $u_2$

Answer 4

Vector propio de valor propio 3

Dado que

$$ \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), $$ también podemos escribir $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), $$ o $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), $$ o el uso de $A$: $$ Un \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), $$ Significado el vector propio para el autovalor $3$ está dado por $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \cos(x) \\ \sin(x) \end{array} \right) $$

Vector propio de valor propio 7

Dado que

$$ \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = 7 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right), $$ también podemos escribir $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = 7 \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right), $$ o $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = 7 \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right), $$ o el uso de $A$: $$ Un \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right), $$ Significado el vector propio para el autovalor $7$ está dado por $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -\sin(x) \\ \cos(x) \end{array} \right) $$

Answer 5

la matriz de rotación $Q = \pmatrix{\cos x & - \sin x\\ \sin x & \cos x}$ es ortogonal, que es $Q^{-1} = Q^\top.$ de lo que tienes $$A Q = Q\pmatrix{3&0\\0&7} $$ we can write the matrix equation as $$[Aq_1, Aq_2] = A[q_1, q_2] = [q_1, a_2]\pmatrix{3&0\\0&7}=[3q_1, 7q_2] $$ where $q_1, q_2$ are the columns of $P.$ that is $$Aq_1 = 3q_1, \, Aq_2 = 7q_2 \tag 1$$

por lo tanto, los vectores propios correspondientes a los valores propios $3,7$ son los vectores columna $q_1, q_2$ respectivamente.