La relación entre una función exponencial y función logarítmica

Question

Me han dicho varias veces que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa. Mi pregunta es; ¿cuáles son las implicaciones de esto? ¿Cómo podemos ver que son el inverso uno del otro en matemáticas básicas (por lo que su graficar funciones, derivados, etc.)?

Answer 1

Esto significa que $e^x$ es un bijection de $\Bbb R$ a $(0\infty)$, $\ln(x)$ es un bijection de $(0,\infty)$ a $\Bbb R$. Esto significa que ambas funciones par de puntos en su dominio y rango de: a grandes rasgos, "no queda nada", y "no hay dos pares de superposición".

Las propiedades inversas decir que: $e^{\ln(x)}=x$ todos los $x\in (0,\infty)$ $\ln(e^x)=x$ todos los $x\in \Bbb R$. Estas propiedades son útiles para la resolución de ecuaciones, para una cosa. Si usted ve $e^x=4$, luego mediante la aplicación de $\ln$ a ambos lados:

$$ \ln(e^x)=\ln(4) $$ y por que la cancelación, el lado izquierdo es sólo $x$, por lo que ahora es resuelto por $x$.

Gráficamente se puede comprobar que son inversos. Si se hace un gráfico de ambos $e^x$ $\ln(x)$ sobre los mismos ejes, entonces se observa que son las reflexiones de cada uno de los otros a través de la línea de $y=x$. Este es el caso para todos los pares de funciones mutuamente inversas.

Que la gráfica de la reflexión se traduce, en símbolos: si $(x_0,y_0)$ está en el gráfico de $e^x$, lo que significa $e^x$ envía $x_0$$y_0$. Dado que las funciones son inversas, que significa $\ln(x)$ envía $y_0$$x_0$. Por lo tanto, $(y_0,x_0)$ está en el gráfico de $\ln(x)$. El acto del cambio de las coordenadas de los pares ordenados produce la reflexión a través de $y=x$.

Hay una relación puede derivar acerca de los derivados. Desde $f(f^{-1}(x))=x$, diferenciando ambos lados (usando la regla de la cadena a la izquierda) dice que $f'(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1})'(x)=1$. La solución para $(f^{-1})'(x)$ se obtiene que:

$$ (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$

El uso de $f(x)=e^x$ y sabiendo que $f'=f$ para esta función, se obtiene:

$$ \frac{d\ln(x)}{dx}=\frac{1}{e^{\ln(x)}}=\frac{1}{x} $$

Hay un montón de detalles y el rigor que yo no he mencionado, pero espero que esto le da un poco de sabor de lo que está pasando. No utilizar esto como una excusa para no mirar a su texto.

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PS: he interpretado "exponencial" para significar $f(x)=e^x$, pero, por supuesto, todo lo anterior (con algo de cuidado, especialmente en el caso de la derivada) pueden ser cambiados o modificados para el caso de $f(x)=a^x$ $f^{-1}(x)=\log_a(x)$

Answer 2

Justo generalizar:

Una función de $g: Y \to X$ es una función inversa de la $\;f: X \to Y\;$ (y viceversa) si y sólo si $$\;g \circ f = id_X\; \text { and}\;\,f\circ g = id_Y:\;$$ that is, if and only if $\;g(f(x)) = x\;$ for all $x \in X$ and $\;f(g(y)) = y\,$ for all $\,y \in S$.

Answer 3

En realidad, el logaritmo de la función se define como el inverso del exponente de la función. No es una propiedad de estas funciones, es cómo el logaritmo es introducido.

Si $a^b=c$, entonces la fuerza con la que elevar a para obtener el c es el logaritmo: $b=log_a c$.