¿Cuántos círculos (radio $r$ ) para cubrir un círculo de radio $2$ veces mayor (radio $2r$ ).
Creo que tenemos que utilizar el área que es $S=\pi R^2$ pero no sé muy bien qué hacer.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se trata de un problema de cobertura del disco . Tal como lo ha planteado, no es tan difícil como otros.
La primera tarea consiste en encontrar el número mínimo de círculos pequeños que cubran la circunferencia del círculo mayor y no toda el área. Si se $m$ entonces será imposible tener un $m$ -gon con aristas de longitud $2r$ que se ajusta estrictamente al círculo de radio $2r$ . Esto implica $m \ge 6$ .
Resulta que sólo es posible cubrir la circunferencia del círculo mayor con 6 círculos menores, e ignorando las simetrías sólo hay una forma de hacerlo (se obtiene un hexágono regular cuyos vértices están en el círculo mayor y cuyas aristas son diámetros de los círculos menores). Pero esto deja un área sin cubrir en el centro, que necesita al menos uno (y de hecho exactamente uno) más.
Así que la respuesta es siete círculos más pequeños.
2 votos
Se trata de un problema difícil: primero hay que idear una cobertura que se supone óptima. Luego viene la parte difícil: Si el recubrimiento utiliza, por ejemplo, 10 círculos, hay que demostrar que con 9 círculos no es posible. La estimación de área que propones podría ser una idea, pero sólo da que necesitas al menos 5 círculos pequeños: 4 para cubrir el área y al menos uno para el inevitable solapamiento.
2 votos
Esta página ( www2.stetson.edu/~efriedma/circovcir ) lo hace en sentido contrario: "¿Qué tamaño de círculo puedo cubrir con n círculos?". En reclamaciones el caso de "puedo cubrir un círculo el doble de grande" es trivial.