Probar que si $\rho,\phi$ son representaciones irreducibles lo es esta representación

Question

Deje $G_1$ $G_2$ ser grupos finitos y deje $G = G_1 \times G_2$. Supongamos que $\rho: G_1 \to GL_m(\mathbb{C})$ $\phi: G_2 \to GL_n(\mathbb{C})$ son representaciones. Deje $V =M_{mn}(\mathbb{C})$. Definir $\tau : G \to GL(V)$ por la regla de $\tau(g_1,g_2)(A) = \rho_{g_1}A\phi_{g_2}^T $

Probar que si $\rho,\phi$ son representaciones irreducibles lo es $\tau$.

Answer 1

Un TLDR descargo de responsabilidad: la representación que usted está viendo es llamado el exterior producto tensor de las dos representaciones individuales así que si usted ha visto esto antes, irreductibilidad debe ser inmediata. En lugar de hacer el caso general, voy a probar el problema en este caso específico.

Queremos utilizar el carácter de la teoría de aquí. Vamos a ver lo que esta representación a la norma base $\{E_{ij}\}$ $M_{mn}.$

$$E_{ij} \phi_{g_{2}}^{T}$$

básicamente lleva a la $j$ésima columna de a $\phi_{g_{2}}$ y la coloca en la $i$th fila de la nueva $m \times n $ matriz y pone a $0$ en todas las demás.

Así, el $k, l$th entradas de

$$\tau(g_{1}, g_{2})(E_{ij})$$

es $(\rho_{g_{1}})_{k,i} (\phi_{g_{2}})_{l, j}.$ Ya que sólo se preocupan por la traza de $\tau(g_{1}, g_{@})$, nosotros sólo nos preocupamos de la $i, j$th coeficiente de aquí, que es

$$(\rho_{g_{1}})_{i, i}(\phi_{g_{2}})_{j, j}.$$

Así que ahora, vemos que el carácter $$\chi_{\tau}(g_{1}, g_{2}) = \sum_{i, j} (\rho_{g_{1}})_{i, i}^{2}(\phi_{g_{2}})_{j, j}^{2} = \sum_{i} (\rho_{g_{1}})_{i, i}^{2} \sum_{j} (\phi_{g_{2}})_{j, j}^{2} = \chi_{\rho}(g_{1})\chi_{\phi}(g_{2}).$$

Por lo tanto, tenemos

$$\frac{1}{|G_{1} \times G_{2}|} \sum_{g \in G_{1} \times G_{2}} |\chi_{\tau}(g_{1}, g_{2})|^{2} = \left[\frac{1}{|G_{1}|} \sum_{g \in G_{1}} |\chi_{\rho}(g_{1})|^{2}\right] \left[\frac{1}{|G_{2}|}\sum_{g \in G_{2}} |\chi_{\phi}(g_{2})|^{2}\right] = 1.$$

Por lo tanto, la nueva representación es irreductible.