¿Podría por favor ayudarnos a resolver esto?

Question

Teniendo en cuenta,

$Ut-U{xx}-2U_x=0$

Utilizando el método de separación de variables, encuentre toda solución posible.

Mi respuesta:

$U(x,t)=X(x)T(t)$

$T'(t)/T(t)$=$[X''(x)+2X'(x)]/X(x)$=$\lambda$

Desde aquí estoy atrapado. Alguien me podría mostrar algunos pasos de trabajo para poder seguir adelante.

Answer 1

La solución en $$ T'(t) = \lambda T(t) es simplemente $T = A e^{\lambda t}$, donde $A$ es un parámetro.

Puede encontrarse la solución al % $X''(x) + 2X'(x) - \lambda X(x) = 0$$r\pm = -1 \pm \sqrt{ 1 + \lambda}$y escritura como$$ \left(\frac{d}{dx} + r+\right)\left( \frac{d}{dx} + r-\right) X(x) = 0 utilizando el método de la integración de factores tenemos %#% $de #% que podemos solucionar directamente integrando y obtención de %$ $$ e^{-r+ x} \frac{d}{dx} e^{r+ x - r-x} \frac{d}{dx} e^{r- x} X(x) = 0 $$$ X(x) = C+ e^{-r+ x} + C- e^{-r_- x} $dónde están los parámetros.

Answer 2

Esta es exactamente la misma pregunta que la PDE separación de variables [RESUELTO].

Caso $1$: $\text{Re}(t)\geq0$

Deje $U(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)-X''(x)T(t)-2X'(x)T(t)=0$

$X(x)T'(t)=X''(x)T(t)+2X'(x)T(t)$

$X(x)T'(t)=(X''(x)+2X'(x))T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)+2X'(x)}{X(x)}=-(f(s))^2-1$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-(f(s))^2-1\\X''(x)+2X'(x)+((f(s))^2+1)X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{-t((f(s))^2+1)}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)e^{-x}\sin(xf(s))+c_2(s)e^{-x}\cos(xf(s))&\text{when}~f(s)\neq0\\c_1xe^{-x}+c_2e^{-x}&\text{when}~f(s)=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore U(x,t)=C_1xe^{-x-t}+C_2e^{-x-t}+\int_sC_3(s)e^{-x-t((f(s))^2+1)}\sin(xf(s))~ds+\int_sC_4(s)e^{-x-t((f(s))^2+1)}\cos(xf(s))~ds~\text{or}~C_1xe^{-x-t}+C_2e^{-x-t}+\sum\limits_sC_3(s)e^{-x-t((f(s))^2+1)}\sin(xf(s))+\sum\limits_sC_4(s)e^{-x-t((f(s))^2+1)}\cos(xf(s))$

Caso $2$: $\text{Re}(t)\leq0$

Deje $U(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)-X''(x)T(t)-2X'(x)T(t)=0$

$X(x)T'(t)=X''(x)T(t)+2X'(x)T(t)$

$X(x)T'(t)=(X''(x)+2X'(x))T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)+2X'(x)}{X(x)}=(f(s))^2-1$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=(f(s))^2-1\\X''(x)+2X'(x)+(1-(f(s))^2)X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{t((f(s))^2-1)}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)e^{-x}\sinh(xf(s))+c_2(s)e^{-x}\cosh(xf(s))&\text{when}~f(s)\neq0\\c_1xe^{-x}+c_2e^{-x}&\text{when}~f(s)=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore U(x,t)=C_1xe^{-x-t}+C_2e^{-x-t}+\int_sC_3(s)e^{-x+t((f(s))^2-1)}\sinh(xf(s))~ds+\int_sC_4(s)e^{-x+t((f(s))^2-1)}\cosh(xf(s))~ds~\text{or}~C_1xe^{-x-t}+C_2e^{-x-t}+\sum\limits_sC_3(s)e^{-x+t((f(s))^2-1)}\sinh(xf(s))+\sum\limits_sC_4(s)e^{-x+t((f(s))^2-1)}\cosh(xf(s))$

Por lo tanto $U(x,t)=\begin{cases}C_1xe^{-x-t}+C_2e^{-x-t}+\int_sC_3(s)e^{-x-t((f(s))^2+1)}\sin(xf(s))~ds+\int_sC_4(s)e^{-x-t((f(s))^2+1)}\cos(xf(s))~ds&\text{when}~\text{Re}(t)\geq0\\C_1xe^{-x-t}+C_2e^{-x-t}+\int_sC_3(s)e^{-x+t((f(s))^2-1)}\sinh(xf(s))~ds+\int_sC_4(s)e^{-x+t((f(s))^2-1)}\cosh(xf(s))~ds&\text{when}~\text{Re}(t)\leq0\end{cases}$

o $\begin{cases}C_1xe^{-x-t}+C_2e^{-x-t}+\sum\limits_sC_3(s)e^{-x-t((f(s))^2+1)}\sin(xf(s))+\sum\limits_sC_4(s)e^{-x-t((f(s))^2+1)}\cos(xf(s))&\text{when}~\text{Re}(t)\geq0\\C_1xe^{-x-t}+C_2e^{-x-t}+\sum\limits_sC_3(s)e^{-x+t((f(s))^2-1)}\sinh(xf(s))+\sum\limits_sC_4(s)e^{-x+t((f(s))^2-1)}\cosh(xf(s))&\text{when}~\text{Re}(t)\leq0\end{cases}$

Esta es ya la solución general de la $U_t-U_{xx}-2U_x=0$ . Tenga en cuenta que cuando sin ningún I. C. s, la forma de $f(s)$ puede elegir arbitraria, pero cuando I. C. s, la forma de $f(s)$ y la elección si el uso de la integración del núcleo o mediante la sumatoria del núcleo debe elegir sabiamente con el fin de dar cabida a la I. C. s para obtener la más agradable forma de la solución, especialmente el número de I. C. s es más que dos.