Número de matrices invertibles módulo 26

Question

El número de matrices invertibles módulo $26$ puede calcularse mediante el Teorema del Resto Chino, es decir, una matriz es invertible en módulo 26 si es invertible en módulo $13$ y modulo $2$ que vienen dados por el orden de los grupos $GL(n, \mathbb{Z}_{2})$ y $GL(n,\mathbb{Z}_{13})$ : $$2^{n^2}(1-1/2)(1-1/2^2)\ldots(1-1/2^n)$$$$ 13^{n^2}(1-1/13)(1-1/13^2)\ldots(1-1/13^n) $$ and so the number of invertible $ n\N-tiempos n $ matrices is their product, i.e. $$ 26^{n^2}(1-1/2)(1-1/2^2)\ldots(1-1/2^n)(1-1/13)(1-1/13^2)\ldots(1-1/13^n)$$

Mis preguntas son, ¿cómo se utiliza el Teorema del Resto Chino y cómo el producto de estas cantidades nos da el número de matrices? ¿Qué pasa si una matriz es invertible módulo $13$ pero no modulo $2$ ? ¿Sigue siendo invertible el módulo $26$ ?

Answer 1

El Teorema Chino del Resto nos dice que $\mathbb{Z}_{26}\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{13}$ que a su vez es lo que nos dice que $GL(n,\mathbb{Z}_{26})\cong GL(n,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{13})\cong GL(n,\mathbb{Z}_2)\times GL(n,\mathbb{Z}_{13})$ . Entonces el resultado se sigue por la prueba que tienes en tu respuesta.

Definitivamente no es el caso que una matriz que es invertible modulo $13$ pero no es invertible módulo $2$ será invertible módulo $26$ . Por ejemplo, tomemos la matriz con todos los $2$ en su diagonal y ceros en el resto. Entonces esta matriz está en $GL(n,\mathbb{Z}_{13})$ , no está en $GL(n,\mathbb{Z}_2)$ y no está en $GL(n,\mathbb{Z}_{26})$ , como $2$ no tiene una inversa multiplicativa en $\mathbb{Z}_{26}$ .