El punto fijo de Banach teorema se expresa en mi libro (Aplicado Análisis Asintótico de Miller) como
Deje $\mathcal B$ ser un espacio de Banach con la norma $\|\cdot\|$. Deje $X$ ser no vacío acotado subconjunto de $\mathcal B$ y supongamos que $T \colon X \to X$ es una asignación que satisface, para algunos $0 < \rho < 1$, la desigualdad $$ \|T(f) - T(g)\| \leq \rho \|f-g\| $$ para todos los $f$$g$$X$. Entonces existe un único elemento $f^\infty \in X$ tales que (i) la secuencia de itera $\{T^k(f)\}_{k \geq 0}$ converge a $f^\infty$ siempre $f \in X$ y (ii) $f^\infty = T(f^\infty)$.
Estoy teniendo algunos problemas para entender este resultado.
Supongamos $X_R$ es la bola de radio $R$, es decir, $$ X_R = \{f \in \mathcal B \colon \|f\| \leq R\}, $$ y supongamos que $T$ es una asignación de contracción en $X_R$. El teorema dice que el $T$ tiene un único punto fijo $f^\infty \in X_R$.
Pero no es $T$ también una asignación de contracción en cada balón $X_S$$0 < S < R$? ¿El teorema de entonces implica que $T$ tiene un único punto fijo en $X_S$? Entonces a mí me parece que debemos tener $\|f^\infty\| = 0$, de lo contrario, quedaría fuera de alguna de esas bolas.
A donde voy mal?
