La ecuación diferencial con $\sqrt{xy}$

Question

$$7\sqrt{xy} \frac{dy}{dx}=4, \quad x,y>0$$ ¿Cómo resolver esta ecuación para $y$

Answer 1

Sugerencia: La ecuación es separable y

$$ \sqrt[7]{xy} = \sqrt[7]{x} \sqrt[7]{y} $$

Answer 2

Si una ecuación es invariante a $x'=\lambda x$ $y'=\lambda^\beta y$ $$\frac{dy}{dx}=\beta\frac{y}{x}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}=\beta(\beta -1)\frac{y}{x^2}$$ $$\frac{d^3y}{dx^3}=\beta(\beta -1)(\beta -2)\frac{y}{x^3}$$ y así sucesivamente. Estos son Mentira Autodiffeomorphisms, y no mucha gente sabe acerca de ellos, pero ellos trabajan dandy para problemas como el suyo. No proporcionar soluciones completas, sólo soluciones especiales sin la integración de las constantes (debido a que no requieren la integración de usar).

Sólo hay que aplicar el grupo de transformación para su ODA: $$ 7\sqrt{\lambda x\lambda^\beta y}\frac{d\lambda^\beta y}{d\lambda x}=4 $$ $$ \large\lambda^{\frac{1}{2}+\frac{\beta}{2}+\beta -1}7\sqrt{xy}\frac{dy}{dx}=4 $$ Para la invariancia, $$ \large\lambda^{\frac{3\beta}{2}-\frac{1}{2}}=1 $$so $\beta=\frac{1}{3}$ por lo Tanto, $$ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{3x} $$Hacer esta sustitución y hacer un poco de álgebra, et voila! $$ \grandes y=\bigg(\frac{12}{7}\bigg)^\frac{2}{3}x^\frac{1}{3} $$ Separación de variables proporciona la solución general: $$ y=\bigg(\frac{12}{7}x^\frac{1}{2}+C\bigg)^\frac{2}{3} $$Set $C=0$ y esto se derrumba a la solución especial, como se esperaba. NOTA: Si el problema original fue $$ (xy)^\frac{1}{7}\frac{dy}{dx}=4 $$this just means $\beta=\frac{3}{4}$ y la solución especial se $$ y=\bigg(\frac{16}{3}\bigg)^\frac{7}{8}x^\frac{3}{4} $$No estoy seguro de que uno le pide, pero el principio es el mismo en ambos sentidos.

Answer 3

¿Has probado la separación de la ecuación diferencial? Usted debe obtener

$$y^{1/7} \, dy = 4x^{-1/7} \, dx.$$

Ahora lo que necesita para integrar ambos lados de la ecuación.