La determinación de isometría grupo de simétrica espacios

Question

Estoy aprendiendo algunas simétrica de los espacios, y traté de mirar en algún ejemplo, incluyendo Grassmannian (por ejemplo, $p$-dimensiones de los subespacios en $\mathbb{C}^{p+q}$) y el espacio proyectivo $\mathbb{CP}^n$. Sigo Helgason, por lo tanto quiero describir en términos de la Mentira de los grupos. Mi problema es:

Cómo determinar el grupo de isometría de un colector cuya descripción geométrica se sabe?

Permítanme elaborar más. Para $\mathbb{CP}^n$, entiendo que el especial de grupo unitario $SU(n+1)$ actúa transitivamente sobre ella. También, sé que la isotropía del grupo durante un cierto punto es $U(n)$. Es tentador ahora a reclamar $\mathbb{CP}^n = SU(n+1)/U(n)$. Pero no he comprobado que $SU(n+1)$ es el grupo de isometría!

Problemas similares se presentan cuando intento Grassmannians, Lagrange Grassmannians, Ortogonal Grassmannians, etc. Yo por lo general puede encontrar un grupo que actúa bien en estos espacios, pero no puedo determinar si el grupo es el grupo de isometría.

Alguien puede ayudar? Muchas gracias!

Answer 1

Normalmente va al revés.

Tomar el verdadero Grassmannian espacio de $Gr_k(n)$ por ejemplo. El grupo $O(n)$ actúa transitivamente por diffeomorphisms, y el grupo de isotropía es $O(k)\times O(n-k)$. Este hecho se muestra que $$Gr_k(n)=O(n)/(O(k)\times O(n-k)),$$as a diffeomorphism of smooth manifolds. Then, it is natural to equip $Gr_k(n)$ with the unique Riemannian metric which makes the quotient map $O(n)\a Gr_k(n)$ a de Riemann de la inmersión.

El mismo razonamiento se aplica para todos los otros ejemplos. Si usted lidiar con complejas y Hermitian estructuras, sólo asegúrese de que el grupo actúa por biholomorphisms.

Es cierto que, si su simétrica espacio ya tiene una métrica, es necesario verificar que el grupo actúe en él por isometrías. Este puede ser el caso de la $\mathbb{C}P^n$, mientras que el Fubini-Estudio de la métrica puede ser construido por un par de diferentes enfoques.