Radios de convergencia de funciones analíticas reales

Question

Le propongo una pregunta que me he planteado yo mismo, pero no sé si tiene sentido o no.

Considere una analítica función $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ . Para cada $x$ defina $R(x)$ como radio de convergencia de la serie de Taylor con centro en $x$ . ¿Qué podemos decir del mapa? $x \mapsto R(x)$ ?

Por ejemplo, para $e^x, \sin{x}, \cos{x}$ podemos tomar $R \equiv +\infty$ . ¿Existen funciones para las que el mapa $x \mapsto R(x)$ ¿es constante? ¿Y la continuidad? ¿Existe alguna caracterización de las funciones $f$ para lo cual $x \mapsto R(x)$ ¿es continua?

Espero que la pregunta tenga sentido.

Answer 1

En lugar de funciones analíticas reales, empecemos con alguna clase específica de funciones complejas que sean analíticas sobre alguna vecindad del eje real.

Existe un teorema de Pólya-Carlson que afirma que para cualquier serie de potencias con coeficientes enteros

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n\quad\text{ where }\quad c_n \in \mathbb{Z}$$

Si es analítica sobre el disco unitario abierto, entonces es una función racional o bien tienen el círculo unitario $S^1$ como su límite natural de analiticidad. Esto significa que las singularidades de $f(z)$ es denso sobre $S^1$ y no se puede continuar analíticamente $f(z)$ fuera del disco de la unidad abierta.

Un ejemplo de ello es la serie de potencias $\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^{n!}$ . Consideremos la función

$$g(z) = f(\frac{e^{-iz}}{2}) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n!} e^{-in!z}$$

Es evidente $g(z)$ es analítica sobre $\{z \in \mathbb{C} : \Im z < \log 2 \}$ y tiene la línea $\Im z = \log 2$ como límite natural de la analiticidad. Así, para cada $x \in \mathbb{R}$ la expansión en serie de potencias de $g(z)$ con respecto a $x$ tiene un radio de convergencia igual a $\log 2$ .

Añadir $g(z)$ y $g(-z)$ juntos, encontramos la función

$$h(z) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n!} \cos( n! z) = \frac12 (g(z) + g(-z))$$

es real sobre el eje real, analítica compleja sobre la banda $\{ z \in \mathbb{C} : |\Im z| < \log 2 \}$ y tiene las dos líneas $\Im z = \pm\log 2$ como límites naturales.

Esto nos da un ejemplo de función analítica real cuyo radio de convergencia es finito y constante sobre todo el eje real.

Answer 2

Si se considera una clase mayor de funciones analíticas, es decir $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ podemos decir que el radio de convergencia de la serie de potencias calculada en el punto $z_0$ es la distancia desde $z_0$ al punto más cercano donde $f$ no es analítica.

Por ejemplo, consideremos la función $f(z) = \frac{1}{1+z^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n}$ . El radio de convergencia de esta serie de potencias es 1, la distancia desde $0$ a $\pm i$ . Por eso también es importante considerar los valores complejos. Porque si tomamos $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ entonces esta función es analítica para todos los números reales, pero no tendría un radio de convergencia infinito. En este sentido, la función analítica real "conoce" los polos complejos.

Si su serie de potencias tiene un radio de convergencia infinito (es decir. $f$ es entera) entonces su función $R(x)$ sería constante e igual a $\infty$ . De lo contrario, no creo que fuera constante.

En respuesta a la pregunta de tu comentario, supongamos que tomamos una función $f(x) = \sum a_n x^n$ donde el radio de convergencia de la serie de potencias es infinito. Esto significa que $$\lim \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 0$$ lo que a su vez significa que la serie $F(x) = \sum |a_n| x^n$ tiene un radio de convergencia infinito.

Ahora dejemos que $g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ sea una función analítica compleja definida por la serie de potencias $g(z) = \sum a_n z^n$ . Ahora con la desigualdad del triángulo tenemos $$|g(z)| = |\sum a_n z^n | \le \sum |a_n| |z|^n < \infty$$ de donde procede la última desigualdad $F(x)$ con un radio de convergencia infinito. Por lo tanto g(z) tiene una expansión en serie de potencias con un radio de convergencia infinito, y es entera.

Answer 3

Al final de esta respuesta Declaro

Un corolario de Fórmula integral de Cauchy es que el radio de convergencia de una función analítica compleja es la distancia desde el centro de la expansión de la serie de potencias hasta la singularidad más cercana.

A partir de esto, la función que mencionas es simplemente la distancia a la singularidad más cercana de la función analítica dada. Se trata de una función continua en el dominio de la función analítica, excepto cuando la función analítica en cuestión es entera, en cuyo caso $R(x)$ es infinita en todas partes.