¿Debe ser inyectivo un mapa continuo sobre un espacio compacto hacia sí mismo?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio compacto y $f:X\to X$ un auto-mapa en ese espacio. Supongamos que $f$ es continua y sobreyectiva. ¿Es entonces también inyectiva? Sin la condición de compacidad no necesariamente, pero ¿es suficiente la compacidad? Si no, ¿qué más hay que exigir?

Answer 1

Puede tener, por ejemplo $X=[0,\pi]$ , $f(x)=\pi\sin(x)$ .

Una condición que puede exigir es que $X$ es finito. Aparte de eso, a menos que $X$ es muy especial siempre habrá una función de este tipo.

Answer 2

$f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ , $f(x)=-2x+1$ para $x\in[0,1/2]$ , $f(x)=2x-1$ para $x\in[1/2,1]$ , $f$ no es inyectiva.

Answer 3

Considere $4(x-1/2)^2$ en $X=[0,1].$

Answer 4

Un ejemplo muy geométrico y natural de la topología algebraica sería $f:\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{S}^1$ s.t. $f(z)=z^2$ . Aquí definimos un círculo como $\mathbb{S}^1=\{z\in \mathbb{C}=\mathbb{R}^2:|z|=1\}$ Arriba puede ver una imagen que representa este mapa.

Si te interesa, busca los mapas de cobertura. Aparecen con bastante frecuencia, aunque no a menudo como endomorfismos. También podríamos preguntarnos si podríamos hacer lo mismo con esferas de mayor dimensión $\mathbb{S}^n=\{x\in \mathbb{R}^{n+1}:|x|=1\}$ para $n\geq 2$ ? La respuesta es no, y en la dimensión $1$ tenemos la suerte de que $\mathbb{S}^1=\mathbb{RP}^1$ .