Cómo encontrar los valores propios de la matriz dada

Question

Dada la matriz

\begin{bmatrix} 5&1&1&1&1&1\\1&5&1&1&1&1\\1&1&5&1&1&1\\1&1&1&4&1&0\\1&1&1&1&4&0\\1&1&1&0&0&3 \end{bmatrix}

encontrar sus valores propios (preferiblemente mediante operaciones elementales de fila/columna).

Como no conozco ningún otro método que no sea el de las operaciones elementales para encontrar los valores propios, he intentado escribir el polinomio característico de la matriz que es el siguiente:

\begin{bmatrix} x-5&-1&-1&-1&-1&-1\\-1&x-5&-1&-1&-1&-1\\-1&-1&x-5&-1&-1&-1\\-1&-1&-1&x-4&-1&0\\-1&-1&-1&-1&x-4&0\\-1&-1&-1&0&0&x-3 \end{bmatrix}

Utilizando $R1=R1-(R2+R3+R4+R5+R6)$

\begin{bmatrix} x&-x+8&-x+8&-x+6&-x+6&-x+4\\-1&x-5&-1&-1&-1&-1\\-1&-1&x-5&-1&-1&-1\\-1&-1&-1&x-4&-1&0\\-1&-1&-1&-1&x-4&0\\-1&-1&-1&0&0&x-3 \end{bmatrix}

Answer 1

El polinomio característico $\chi_t$ de esta matriz se puede factorizar muy bien, es decir $$ \chi_t(A)=(t - 2)(t - 3)(t - 4)^3(t - 9). $$ Así que los seis valores propios son $2,3,4,4,4,9$ .

Answer 2

Llama a tu matriz $A$ . Sea $B=A-3I$ . $$ B=\pmatrix{ 2&1&1&1&1&1\\ 1&2&1&1&1&1\\ 1&1&2&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&0\\ 1&1&1&1&1&0\\ 1&1&1&0&0&0}. $$ $B$ tiene dos columnas idénticas (4 y 5), así que intentamos eliminar una de ellas. Realiza la operación de la columna $C5\leftarrow C5-C4$ seguido de la operación de fila inversa $R4\leftarrow R4+R5$ : $$ \pmatrix{ 2&1&1&1&0&1\\ 1&2&1&1&0&1\\ 1&1&2&1&0&1\\ 2&2&2&2&0&0\\ 1&1&1&1&0&0\\ 1&1&1&0&0&0}. $$ Ahora obtenemos un valor propio cero en el $(5,5)$ -en su posición. Quite la quinta fila y la columna: $$ \pmatrix{ 2&1&1&1&1\\ 1&2&1&1&1\\ 1&1&2&1&1\\ 2&2&2&2&0\\ 1&1&1&0&0}. $$ Las dos primeras filas de esta matriz sans $I_2$ son idénticos, así que intentamos eliminar una fila duplicada. Haga $R1\leftarrow R1-R2$ y luego la operación de fila inversa $C2\leftarrow C2+C1$ : $$ \pmatrix{ 1&0&0&0&0\\ 1&3&1&1&1\\ 1&2&2&1&1\\ 2&4&2&2&0\\ 1&2&1&0&0}. $$ Ahora obtenemos otro valor propio $1$ en la posición superior izquierda. Elimina la primera fila y la primera columna: $$ \pmatrix{ 3&1&1&1\\ 2&2&1&1\\ 4&2&2&0\\ 2&1&0&0}. $$ Haga $R1\leftarrow R1-R2$ y $C2\leftarrow C2+C1$ de nuevo: $$ \pmatrix{ 1&0&0&0\\ 2&4&1&1\\ 4&6&2&0\\ 2&3&0&0}. $$ Ahora obtenemos otro valor propio $1$ en la posición superior izquierda. Elimina la primera fila y la primera columna: $$ \pmatrix{ 4&1&1\\ 6&2&0\\ 3&0&0}. $$ Ahora podemos calcular su polinomio característico a mano. Es \begin{align} &(x-4)(x-2)x - 6x -3(x-2)\\ =\,&x^3 - 6x^2 + 8x - 6x - 3x + 6\\ =\,&x^3 - 6x^2 - x + 6\\ =\,&(x-6)(x^2-1). \end{align} Los valores propios de esta matriz son $6,1,-1$ . Por lo tanto, los valores propios de $B$ son $0,1,1,6,1,-1$ y los valores propios de $A=B+3I$ son $3,4,4,9,4,2$ .