Una suma finita de primer recíprocos

Question

¿Cómo se puede demostrar que $\sum\limits_k \frac1{p_k}$ donde $p_k$ $k$- ésimo primo, no da como resultado un número entero?

Answer 1

Estoy suponiendo que la pregunta significa finito de sumas. (Para cualquiera que desee $s \in \mathbb R_{> 0}$, existen infinitas subsecuencias de los números primos tales que la serie correspondiente sumas a $s$.)

Suponga que para algunos de los números primos $p_1, p_2, \ldots, p_n$, la cantidad $$ s = \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \cdots+ \frac{1}{p_n} $$ es un número entero. Multiplicando por $Q = p_2 p_3 \cdots p_n$ y reordenando, se nota que $$ \frac{Q}{p_1} = sQ - \frac{Q}{p_2} - \frac{Q}{p_3} - \cdots - \frac{Q}{p_n}. $$ Cada término del lado derecho es un número entero (justificar esto!), y así el derecho (y por tanto a la izquierda) lado sí es un entero. Es decir, $p_1$ divide $Q = p_2 p_3 \cdots p_n$. ¿Ves cómo es esto una contradicción?

Ahora, por una simple modificación, se puede demostrar que (Ejercicio!) el denominador de la suma es exactamente $$p_1 p_2 \cdots p_n .$$