una simple pregunta en teoría de anillos

Question

Supongamos que $R$ es un anillo (posiblemente no conmutativo), $I$ es un ideal mínimo de la izquierda en él, y $I^2\neq 0$ , demuestran que $I=Re$ para algún idemopotente $e$ .

Es fácil demostrar que podemos encontrar algunos $x\in I$ , de tal manera que $I=Ix$ Así que $I=Rx=Rx^n=Ix^n$ para todos $n\geq 1$ pero cómo construir el idemopotente $e$ utilizando $x$ Supongo que no me he dado cuenta de algún punto clave.

Answer 1

Como $I^2\neq 0$ , entonces hay un elemento $x\in I$ tal $Ix=I$ ,también hay un elemento $e\in I$ con $ex=x$ con $e\neq 0$ entonces $e^2x=x$ . Dado que la multiplicación por la derecha por $x$ es un isomorfismo de $I$ a $Ix$ por la minimización de $I$ Esto implica que $e^2=e$ .