Ejemplo plana módulo, pero ni descriptiva ni inyectiva

Question

Sabíamos que algunos de los contra-ejemplos: $\mathbb{Q}$ es un plano $\mathbb{Z}$-módulo, pero no un proyectiva $\mathbb{Z}$-módulo; $\mathbb{Z}$ es un plano $\mathbb{Z}$-módulo pero no inyectiva $\mathbb{Z}$-módulo.

Así, hay un televisor de módulo, pero ni descriptiva ni injetive?

Answer 1

Sí, su ejemplo es el que apunta en la dirección correcta. El hecho de que $\mathbb{Q}$ es plano sobre a $\mathbb{Z}$ se sigue del teorema general que si $A$ es un anillo conmutativo y $S$ es algunos multiplicativo del sistema en $A$, por ejemplo, el complemento de algunos de los mejores ideal, entonces la localización de la $S^{-1}A$ es un plano $A$-módulo. No debe, sin embargo, inyectiva o proyectiva.

Para ser concretos, vamos a $S$ todos los enteros coprime a $p$ y deje $Z _{(p)} = S^{-1} \mathbb{Z}$ ser la localización. Tenemos $$Z _{(p)} = \left\{ \frac{a}{b} : b \text{ non-zero, coprime to }p \right\} \subseteq \mathbb{Q}$$ como un sub-anillo de los racionales. Ahora, $Z _{(p)}$ es plano, ya que se trata de una localización, pero no es inyectiva. Esto puede ser demostrado por la clasificación de los inyectiva los módulos a través de $\mathbb{Z}$, que tiene que ser racional espacios vectoriales si son de torsión libre, pero para dar una prueba concreta de que es el caso de considerar la inclusión de $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Z} _{(p)}$. Uno ve que este mapa no puede ser extendida a $\mathbb{Q}$. (Sugerencia: ¿Dónde $\frac{1}{p}$ ir debajo de la extensión?)

Observar no es proyectiva, uno puede volver a utilizar el teorema general que proyectivas de los módulos a través de la directora ideal dominios, debe ser libre e $\mathbb{Z} _{(p)}$ no (Sugerencia: Muestre que no es generado por un solo elemento y que cualquiera de los dos elementos en que son linealmente dependientes.) Para una prueba directa, considere la posibilidad de la surjection

$$\phi: \bigoplus_{\substack{q \text{ prime distinct from p}\\ n \in \mathbb{N}}} \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} _{(p)}$$

donde el $(q, n)$-th copia de $\mathbb{Z}$ es llevado a $\phi (1_{n}) = q^{-n}$. Si $\mathbb{Z} _{(p)}$ fueron proyectiva, debería de existir un mapa de $\psi: \mathbb{Z} _{(p)} \rightarrow \oplus \mathbb{Z}$ tal que $\phi \psi = \text{id}$. Sin embargo, no hay no-cero de mapas en esta dirección. (Sugerencia: Deje $\psi: \mathbb{Z} _{(p)} \rightarrow \oplus \mathbb{Z}$ ser un homomorphism. Tenga en cuenta que $\psi(1)$ tiene la propiedad de que para todos los $k \in \mathbb{N}$ existe alguna $a \in \oplus _{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$ tal que $q^{k}a = \psi(1)$, debido a que esto es cierto para $1 \in \mathbb{Z} _{(p)}$. ¿Hay alguna que no sea cero elementos como este en cualquier suma directa de $\mathbb{Z}$?)

Answer 2

He aquí un ejemplo sencillo basado en tus ejemplos, en la categoría de $\mathbb{Z}$-módulos: $\mathbb{Q}$ es plano, pero no proyectiva, $\mathbb{Z}$ es plano, pero no inyectiva, por lo que ponerlos juntos: $\mathbb{Q}\oplus\mathbb{Z}$ plano, ya que la suma directa de los planos de los módulos es plana. No es proyectiva, ya que un sumando directo de la misma no es proyectiva, y no es inyectiva, ya que no es divisible.

Answer 3

Otro ejemplo es $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$$\mathbb{Z}$.

• Es de torsión libre, por lo tanto plana. Alternativamente, $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] = \mathrm{colim}(\mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \dotsc)$ es dirigido colimit de libre módulos, por lo tanto plana.
• Desde $2 \notin \mathbb{Z}^*$, no hay homomorphism $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] \to \mathbb{Z}$ ampliación de la inclusión. Por lo tanto $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ no es proyectiva.
• Desde $3 : \mathbb{Z}[\frac{1}{2}] \to \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ no es surjective, se deduce que el $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ no es divisible, por lo tanto no es inyectiva.