El grado de cada liso mapa de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es una...

Question

Deje $\varphi : M^n \to N^n$ ser un adecuado suave mapa entre dos conectadas suave colectores. A continuación, $\varphi$ induce lineal mapa de $\varphi^* : H_c^n(N) \simeq \mathbb{R} \to H_c^n(M) \simeq \mathbb{R}$ (donde $H_c^n$ $n$- ésimo de Rham cohomology grupo con soporte compacto), de modo que existe $d \in \mathbb{R}$, de modo que $\varphi^* : x \mapsto d \cdot x$; $d$ se llama el grado de $\varphi$. Por otra parte, se puede demostrar que si $\varphi : M \to N$ $\phi : M\to N$ son suavemente homotópica, a continuación, $\varphi^*= \phi^*$ por lo tanto $\deg(\varphi)= \deg(\phi)$.

Sin embargo, cada apropiado suave mapa de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ son suavemente homotópica (gracias a $H(t,x)= tf(x)+(1-t)g(x)$), por lo que cada apropiado suave mapa de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ debe tener el mismo grado...

Probablemente es una pregunta tonta, pero ¿de dónde viene mi argumento no?

Edit: Sean Eberhard encontrado un primer problema; de hecho, a la conclusión de que la $\varphi^*=\phi^*$ es necesario que el homotopy ser adecuada en cualquier $t$. Sin embargo, aquí hay otra contradicción:

Si $P(z)=z^n$ (donde $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}$ no se distingue), $\deg(P)=n$ $P$ es adecuada si $n \geq 1$. Tomando $H(t,z)=tz^m+(1-t)z^n$ con $m>n>1$, $m= \deg(H(1, \cdot))= \deg(H(0,\cdot))=n$, una contradicción.

Answer 1

En el interés de marcar esta pregunta respondió, solo voy a decir que propio es importante que durante todo el homotopy. Ver los comentarios de la discusión.