$e^{i\pi}$ paradoja - válida la prueba de que $-4 \pi ^2=0$

Question

Esta paradoja es directamente arrancó de este video por el canal de youtube "Mathologer 2". Allí, se presenta una paradoja con los siguientes pasos:

$$e^{i \pi}=-1$$ $$(e^{i \pi})^2=(-1)^2$$ $$(e^{i \pi})^2=1$$ $$e^{2i \pi}=1 $$ $$e^{2i \pi +1}=e$$ $$\text{Substitute $e$ for $e^{2 \pi +1}$}$$ $$(e^{2i \pi +1})^{2i \pi +1}=e$$ $$e^{(2i \pi +1)^2}=e$$ $$e^{-4 \pi ^2+4 \pi i+1}=e$$ $$e^{-4 \pi ^2}e^{4 \pi i}e=e$$ $$e^{-4 \pi ^2}e^{4 \pi i}=1$$ $$\text{Substitute $e^{4 \pi i}$ for 1}$$ $$e^{-4 \pi ^2}=1$$ $$\ln(e^{-4 \pi ^2})=\ln(1)$$ $$-4 \pi ^2=0$$ He intentado extraer algunas razonamiento a partir de los comentarios de youtube, sin embargo, todos ellos conficted el uno con el otro; el error parece venir de uno de estos motivos:

• $(a^b)^c = a^{bc}$ sólo es cierto para bases reales y los exponentes (en referencia a $(e^{2i \pi +1})^{2i \pi +1}=e^{(2i \pi +1)^2}$)
• Esta paradoja es similar a la falsa suposición de que $\sin(0)=\sin(\pi) \implies 0=\pi$ cual es incorrecto aquí como $\sin(x)$ no es bejective y lo mismo va para $e^{i\theta}$ ya que es igual a $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$
• Aquí el "$\pi$" representa radianes, no en el real de la constante "$\pi$", de forma similar a 360 siempre tiene un grado de signo siempre tras de ti, por lo $2\pi$ igual $0$ como $360^{\circ}=0^{\circ}$

Las razones 1 y 2 parece correcto para mí, pero no entiendo por qué el poder de la regla de repente deja de ser correcta para los números complejos (me parece recordar que $(ab)^z \neq a^zb^z$ cuando el exponente es imaginario). Cuál de estas razones son realmente válido/no válido, y por qué?

Answer 1

Imaginario exponenciación simplemente no satisface la regla de $(a^b)^c=a^{bc}$. Esa es la manera que es. Es bueno que muchas de las reglas de los números reales también es válida para los números complejos, pero no es un axioma. La regla es para los números naturales, y se extiende primero racionales (por algebraicas consideraciones) y a los números reales (por la densidad de los racionales). Pero el imaginario de exponenciación no está definido en términos de real exponenciación, así que no hay razón a priori para la igualdad a la espera; y no, en general.

El segundo argumento es irrelevante para la "paradoja". El razonamiento en su pregunta descarrila con la "igualdad" $(e^{2 i\pi +1})^{2i\pi +1}=e^{(2i\pi+1)^2}$. Todo lo que después es falso, en particular,$e^{-4\pi^2}=1$. Por lo que la aplicación del logaritmo no es el tema aquí. Dicho esto, el logaritmo complejo tiene varios valores y no inyectiva.

El tercer argumento es también irrelevante, porque se trata de "explicar" la igualdad de $\pi=0$. Y no hay tal igualdad de aquí, desde que apareció después de inválido pasos.

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Edit: un poco más en la exponenciación. Tenga en cuenta que la exponenciación ya hs problemas con números reales; por ejemplo, uno no puede definir cosas como $(-1)^{1/2}$. Así, la igualdad de $(a^b)^c=a^{bc}$ ya no funciona para ciertas combinaciones de números reales: $(-1)^1=(-1)^{1/2\times2}$ pero $(-1)^{1/2}$ no tiene ningún sentido. En resumen, la exponenciación, incluso para los números reales, funciona bien con el real exponentes sólo cuando la base es positiva: en ese caso, $a^b=e^{b\log a}$ está bien definido.

Para los números complejos, $a^b$ todavía tiene mucho sentido cuando se $a>0$ $b$ es cualquier número complejo: si $b=u+iv$, definimos $a^{u+iv}=a^u\,e^{iv\log a}$. Para los no positivos, o incluso no-real $z$ sólo$z^n$,$n\in\mathbb Z$, tiene sentido.

Por último, echemos un vistazo rápido a $(a^b)^c=a^{bc}$. Este vendría de $$ (a^b)^c=e^{c\log a^b}=e^{cb\log a}=a^{bc}. $$ Así que el problema parece ser con la igualdad de $\log a^b=b\log a$. Al $a$ no es un número real positivo, el logaritmo es multi-valuadas. Aquí es un ejemplo de la cuestión: tenemos $1^i=1$ (no hay problema aquí, esto está bien definido). Pero $1=e^{2\pi i}$, por lo que queremos $$ (1^i)^i=(e^{2\pi i})^i=e^{i\,\log e^{2\pi i}}. $$ Pero ahora, usando la "costumbre" de las propiedades del logaritmo, uno se siente tentado a escribir $\log e^{2\pi i}=2\pi i$; pero esta es la extraña (y el mal) igualdad de $\log 1=2\pi i$. Esto equivale a redefinir el logaritmo de modo que no es real en los reales. Se puede hacer, pero luego no tenemos $1^i=1$ más.

Answer 2

El paso clave es que el complejo de exponenciación es definido por $z^w:=e^{w\ln z}$ donde $z,w\in\Bbb C$ y el logaritmo es el principal valor del logaritmo complejo. Entonces

$$(e^{2\pi i+1})^{2\pi i+1}=\exp((2\pi i+1)\ln e^{2\pi i+1})=\exp((2\pi i+1)\ln e)=e^{2\pi i+1}$$

porque el principal valor significa que podemos elegir el argumento de $\ln e^{i\theta}$ tal que $\theta\bmod(-\pi,\pi]$, entonces en este caso tenemos que $2\pi \bmod (-\pi,\pi]=0$.