Relación entre la mediana y la media de un pmf

Question

Si se considera una distribución que tiene muchas medianas:

$$P(X=x) = \{(1, 0.25)(2,0.25),(3,0.25),(4,0.25)\} ,$$ we know that this distribution has multiple medians between $2$ and $3$ if we define a median as a number where $P(X \geq c) \geq1/2$ and $P(X \leq c) \geq 1/2$. I basically want to prove that the set of all medians is the only set of numbers that minimizes $E[|X|]$.

Intento: Distribuciones pueden tener varias isletas, y varios de estos medianas son los únicos números que minimizar el valor absoluto de la distancia entre la media. Es decir, hay una correspondencia 1-1 entre el conjunto de números que minimiza el valor absoluto de la distancia entre la media y el conjunto de las medianas. Estoy atrapado en la que yo no puedo mostrar una rigurosa prueba para esta pregunta.

Answer 1

A partir de $|x|=2x^+-x$ donde $x^+=\max\{x,0\}$ es la parte positiva de $x$, uno ve que $M(a)=\mathrm E(|X-a|)$$M(a)=2\mathrm E((X-a)^+)-\mathrm E(X)+a$, es decir, $$ M(a)=2\int\limits_a^{+\infty}u_a(x)v'(x)\mathrm dx-\mathrm E(X)+a, $$ con $u_a(x)=a-x$$v(x)=\mathrm P(X\ge x)$. Una integración por partes de los rendimientos $$ M(a)=2\int\limits_a^{+\infty}\mathrm P(X\ge x)\mathrm dx-\mathrm E(X)+a, $$ por lo tanto $M$ es diferenciable en cada punto donde $X$ no tiene ningún átomo y de ahí, la derivada es $$ M'(a)=1-2\mathrm P(X\ge a)=1-2\mathrm P(X>a). $$ Uno ve que $M$ es decreciente a la izquierda de la mediana(s), constante en el intervalo de hecho por la mediana(s) y creciente a la derecha de la mediana(s), lo que demuestra la demanda.

Edición Al $X$ es discreta la prueba anterior puede ser reescrito de la siguiente manera. Suponga que la distribución de $X$$(p_x)$, por lo tanto $$ M(a)=\sum_xp_x|x-a|. $$ Cada función de $a\mapsto|x-a|$ es diferenciable en a $x\ne a$ con diferencial $[x<a]-[x>a]$ por lo tanto, en cada una de las $a$ no en el apoyo de $X$, $$ M'(a)=\sum_xp_x\left([x<a]-[x>a]\right)=\mathrm P(X<a)-\mathrm P(X>a)=\mathrm P(X\le un)-\mathrm P(X\ge una). $$ Uno ve que la función de $M$ está disminuyendo en cada punto de $a$ tal que $\mathrm P(X<a)<\mathrm P(X>a)$ o $\mathrm P(X\le a)<\mathrm P(X\ge a)$ y el aumento en cada punto de $a$ tal que $\mathrm P(X<a)>\mathrm P(X>a)$ o $\mathrm P(X\le a)>\mathrm P(X\ge a)$. Esto demuestra el resultado.