la raíz enésima de la integral de la potencia enésima de una función continua

Question

Dado que f es una función continua de valor real en el intervalo [a,b] y $f(x) \geq 0$ para todo x en el intervalo, demuestre que $$\lim_{n \mapsto \infty }(\int_{b}^{a}(f(x))^ndx )^{\frac{1}{n}}=max\left \{f(x):x\in [a,b] \right\}.$$ ¿Puede alguien comprobar lo que he hecho? Intento apretar la integral.

Para el límite superior, ya que $max[f(x)] \geq f(x)$ para todo x en el intervalo, tenemos $$(\int_{b}^{a}(f(x))^ndx )^{\frac{1}{n}} \leq [(b-a).max[f(x)]^n]^{\frac{1}{n}}=(b-a)^{\frac{1}{n}}.max[f(x)]$$ Para el límite inferior, utilizando la continuidad de $f(x)$ en $x_0$ donde $f(x_0)=max[f(x)]$ podemos encontrar un subintervalo $[c,d] \in [a,b]$ en el que $max[f(x)] -f(x) \leq \epsilon $ para un abitrario $\epsilon $ . Entonces: $$(\int_{b}^{a}(f(x))^ndx )^{\frac{1}{n}}= \left ( \int_{a}^{c}(f(x))^ndx +\int_{c}^{d}(f(x))^ndx +\int_{d}^{b}(f(x))^ndx \right )^{\frac{1}{n}}$$ $$\geq (\int_{d}^{c}(f(x))^ndx)^{\frac{1}{n}}$$ $$\geq (d-c)^{\frac{1}{n}}.[max[f(x)]-\epsilon] $$ Tomando el límite de ambos límites y observando que podemos obtener $\epsilon$ tan cerca de 0 como queramos, obtenemos el resultado deseado.

¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

Dejemos que $$M=max\left \{f(x):x\in [a,b] \right\}.$$ Creo que la siguiente parte está obviamente bien para demostrar el límite superior (como sugieres).

$$(\int_{a}^{b}(f(x))^ndx )^{\frac{1}{n}} \leq [(b-a).max[f(x)]^n]^{\frac{1}{n}}=(b-a)^{\frac{1}{n}}.M$$ que a su vez implica $$\limsup_{n\rightarrow \infty} (\int_{a}^{b}(f(x))^ndx )^{\frac{1}{n}} \leq M$$

En cuanto al límite inferior, puede ser así: Dado que f es continua, para un determinado $\epsilon > 0$ hay un intervalo $[c,d] \in [a,b]$ en el que $f(x) \geq M-\epsilon$ y por lo tanto $$(\int_{a}^{b}(f(x))^ndx )^{\frac{1}{n}} \geq (\int_{c}^{d}(f(x))^ndx )^{\frac{1}{n}} \geq (M-\epsilon)(\int_{c}^{d}dx )^{\frac{1}{n}} = (M-\epsilon) (d-c)^{\frac{1}{n}}$$

Ahora, concluimos $$\liminf_{n\rightarrow \infty} (\int_{a}^{b}(f(x))^ndx )^{\frac{1}{n}} \geq (M-\epsilon)$$

Depuis $\epsilon$ es arbitraria, la conclusión es la siguiente.