¿Qué es $\mathbb R^{\mathbb R}$ como un espacio vectorial?

Question

En Sheldon Axler del Álgebra Lineal Hecho a la Derecha de la tercera edición de los siguientes es un ejemplo de un subespacio:

El conjunto de la diferenciable real de las funciones con valores en $\mathbb R$ es un subespacio de $\mathbb R^{\mathbb R}$

Estoy buscando una explicación intuitiva de la declaración? Dejando $S$ ser el conjunto de todos los diferenciable real de las funciones con valores, para que la expresión sea verdadera, $S$ deben ser un subconjunto de a $\mathbb R^{\mathbb R}$(un subespacio debe ser un subconjunto).

-¿Cómo se puede $S \subset \mathbb R^{\mathbb R}$ al $S$ es un conjunto que contiene las funciones y $\mathbb R^{\mathbb R}$ es un conjunto que contiene los números reales?

-¿Cuáles son los elementos en $\mathbb R^{\mathbb R}$? ¿Cómo podemos pensar de $ \mathbb R^{\mathbb R}$ como una tupla?

Answer 1

$\mathbb R^{\mathbb R}$ denota el conjunto de todos los mapas de$\mathbb R$$\mathbb R$.

Por lo $S \subset \mathbb R^{\mathbb R}$ es dado.

Para comprobar si $S$ es un subespacio lineal, a ver si el cero es el elemento en $S$, a ver si la suma de los dos miembros de $S$$S$, y de manera similar para la multiplicación por un escalar.

Answer 2

En realidad se utiliza la notación $A^B$ a significar el conjunto de todas las funciones de$B$$A$, por lo que en su caso le han

$$\Bbb{R}^{\Bbb{R}} = \{f\colon\Bbb{R}\to\Bbb{R}\ |\ f\text{ is a function}\}.$$

Esta es la razón por la que tiene sentido considerar la $S$ como un subconjunto de a $\Bbb{R}^{\Bbb{R}}$.

Answer 3

Si deseas volver a la página 14 en el capítulo 1 del texto, en la esquina inferior izquierda de la página hay una nota de pie de página que habla de cómo el $\mathbb{F}^{\infty}$ $\mathbb{F}^n$ son casos especiales de $\mathbb{F}^S$, que Axler define como el conjunto de funciones de $g:S\to \mathbb{F}$.

¿Por qué es esto así?

Podemos pensar en la $n$-tuplas en $\mathbb{F}^n$ como la asignación de los elementos del conjunto $\{1,2,3,....,n\}$ a los elementos de $\mathbb{F}$ $g \in \mathbb{F}^{\{1, 2, 3,...,n\}}$ $g(1)=x_1$, $g(2)=x_2$,...., $g(n)=x_n$ para el $n$-tupla $(x_1, x_2,..., x_n)$. También podemos pensar en esto como la indexación de un subconjunto de a$\mathbb{F}$$\{1,2,3,...,n\}$.

Así mismo para $\mathbb{F}^{\infty}$, tenemos que los números naturales son la indexación de nuestro conjunto (como Axler definido, por lo $\mathbb{F}^{\infty}$ es en realidad $\mathbb{F}^{\mathbb{N}}$ es decir, las funciones de $g: \mathbb{N} \to \mathbb{F}$ se define como $g(1)=x_1$, $g(2)=x_2$,...... que asignar todos los números naturales a los elementos de nuestro campo $\mathbb{F}$ en forma de countably infinito tuplas $(x_1, x_2, ......)$.

Ahora a tu pregunta. Desde la perspectiva que acabo de explicar, podemos ver que $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ son sólo funciones de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, y que estamos elementos de indización $\mathbb{R}$ con elementos de $\mathbb{R}$. Por lo tanto cada uno de los reales valores de la función es un solo pedido de un subconjunto de a $\mathbb{R}$ en un uncountably largo tupla!(desde $\mathbb{R}$ es incontable) Y para las funciones con valores corresponden a una sola puntos en $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$. Increíble ¿no?

Desde esta perspectiva podemos ver cómo el conjunto de derivable las funciones con valores reales es un subconjunto de a $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, ya que estas funciones son sólo las tuplas que el orden de los elementos de la $\mathbb{R}$ en una manera tal que la gráfica de la función $f(i)=x_i$ $i,x\in \mathbb{R}$ es diferenciable.

Para empezar, tenga en cuenta que nuestra identidad aditiva es sólo $g:\mathbb{R} \to \{0\}$ (desde constantes funciones son diferenciables). Esto es sólo un uncountably largo de la tupla que consta sólo de ceros, y esta tupla es el origen de nuestra $\mathbb{R}$-dimensiones del espacio! Desde $0$ es la identidad aditiva para $\mathbb{R}$, podemos ver cómo cada componente de cualquier tupla sumamos con nuestro uncountably largo tupla de $0$'s permanecerán sin cambios en la adición de una $0$, por lo tanto el cero de la función es nuestra identidad aditiva.

Espero que ayude :)

Answer 4

$\Bbb R^2$ es un espacio vectorial de dos dimensiones, un punto en $\Bbb R^2$ es un par $(x,y)$. Ahora $\Bbb R^3$ es de tres dimensiones, un punto en $\Bbb R^3$ es un triple $(x,y,z)$. Ahora $\Bbb R^{\Bbb N}$ es countably muchas dimensiones, indexados por el conjunto de índices $\Bbb N$. Así que un punto en $\Bbb R^{\Bbb N}$ puede ser considerado como una secuencia infinita $(x_1,x_2,x_3,\dots)$. También se puede pensar que como una función de$\Bbb N$$\Bbb R$. La próxima $\Bbb R^{\Bbb R}$ es un espacio vectorial con una cantidad no numerable de dimensiones, indexado por $\Bbb R$. Así que un punto es una asociación de un valor en $\Bbb R$ a cada elemento de (el conjunto de índices) $\Bbb R$. Usted puede pensar en un número de maneras para denotar, pero si usted piensa acerca de lo que es exactamente la misma cosa como una función de$\Bbb R$$\Bbb R$. De esa manera toda una función de $\Bbb R$ $\Bbb R$es capturado como un único punto en $\Bbb R^{\Bbb R}$. ¿Ve usted cómo funciona ahora?