¿Por qué es la matriz de $(I - A)$ teóricamente singular?

Question

Tengo el siguiente código de Matlab para calcular el vector propio mediante el inverso de la iteración (o poder) método:

A = p * G * D + delta;
x = (I − A) \ e;
x = x / sum(x);

tomado de la 4ª página de este capítulo sobre el algoritmo pagerank por Cleve Moler.

En primer lugar, no veo cómo este código se refiere a la "típica" de la inversa de la iteración del método. Si usted sabe cómo hacerlo, le agradecería una explicación.

Pero mi pregunta principal en este post es: ¿por $(I - A)$, en teoría, es singular?

Debe de ser escasa. Sería esta ayuda?

Dice el autor:

Porque yo − Un, en teoría, es singular, con el cálculo exacto algún elemento diagonal de la parte superior triangular factor de $I − A$ debe ser cero, y este cálculo debería fallar.

Por qué algunas de las diagonales deben ser $0$?

Answer 1

En primer lugar, una matriz cuadrada $A$ es singular iff su transpuesta es singular.

Ahora, como se indica en la página 2, $A$ está específicamente creado para que todas las columnas suma a uno. Como resultado, $\lambda=1$ es un autovalor de a $A^T$ con cualquier constante autovector, decir $\vec{v}=\langle 1,\ldots,1\rangle$. Por lo tanto, el mismo vector $\vec{v}$ mapas para el vector cero en $I-A^T$, desde $$(I-A^T)\vec{v} = I\vec{v}-A^T\vec{v} = \vec{v}-\vec{v}=\vec{0}.$$ Por lo tanto, $A^T$ es singular.

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De manera más general, el pagerank de la matriz es un ejemplo de una matriz estocástica.