Ecuación cuadrática compleja que tiene una raíz puramente imaginaria

Question

Pregunta: Si $a$ es un número complejo tal que $\vert a\vert=1$ , entonces encuentre los valores de $a$ tal que la ecuación $az^2+z+1=0$ tiene una raíz puramente imaginaria.

La ecuación puede escribirse como $$z^2+\bar{a}z+\bar{a}=0$$ $$z=-\frac{\bar{a}}{2}\pm\sqrt{\frac{\bar{a}^2}{4}-\bar{a}}$$ que no funcionó. Así que intenté usar la suma y el producto de las raíces:

Que las raíces sean $x$ y $ki$ .

$$x+ki=-\bar{a}$$ $$xki=\bar a$$ De la segunda ecuación, $$x=-\frac{\bar a}{k}i$$

Sustituyendo $x$ en la primera ecuación, $$k^2-k\bar ai-\bar a=0$$ La ecuación anterior debe tener una solución real para $k$ Al utilizar la fórmula discriminante, no obtengo la respuesta correcta.

Answer 1

Su última ecuación se puede obtener simplemente enchufando $ki$ en la ecuación original. Entonces, a partir de aquí, dejemos que $a=a_1+a_2 i$ e igualar la parte real y la parte imaginaria de la ecuación con $0$ respectivamente.

A continuación, obtendrá $$a_1=\frac{1}{k^2}\\ a_2=\frac{1}{k}$$

Recordemos que $|a|=1$ . Usando esto se puede resolver para $k$ .

Answer 2

Si $a(ir)^2+ir+1=0$ entonces $r$ no puede ser $0$ y por lo tanto

$$a=\frac{ir+1}{r^2}.$$

Si $a$ está en el círculo unitario, entonces el denominador y el numerador deben tener igual norma, por lo que

$$r^2+1=r^4$$

determina los cuatro valores posibles de $r.$