Calcular la media de $(1 + x)^{-1}$

Question

Pregunta

Deje $X$ ser de Poisson con parámetro de $\lambda$. Calcular la media de $(1 + X)^{-1}$. (Introducción a la Teoría de la Probabilidad, Hoel, p 104)

Clave De Respuestas

La clave de respuestas muestra que la media es $\lambda^{-1}(1 - e^{-\lambda})$

Mi Solución

$$E(1 + X)^{-1} = \sum\limits_{j = 1}^\infty (1 + j)^{-1} \dfrac{\lambda^{(1 + j)^{-1}}e^{-\lambda}}{(1 + j)^{-1}!}$$ $$= e^{-\lambda} \sum\limits_{j = 1}^\infty \dfrac{\lambda^{(1 + j)^{-1}}}{((1 + j)^{-1} - 1)!}$$ $$= \lambda^{-1} e^{-\lambda} \sum\limits_{j = 1}^\infty \dfrac{\lambda^{(1 + j)^{-1} - 1}}{((1 + j)^{-1} - 1)!}$$ $$= \lambda^{-1} e^{-\lambda}(e^{\lambda} - 1)$$ $$= \lambda^{-1}(1 - e^{-\lambda})$$

EDIT: he encontrado ¿por qué tengo la respuesta incorrecta. Gracias por los que responder a la pregunta! :)

Answer 1

La solución no es del todo correcto: $$ \mathsf{E}\left(\frac{1}{1+X}\right) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{1+k} \Pr\left(X=k\right) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{1+k} \frac{\lambda^k \mathrm{e}^{-\lambda}}{k!} = \frac{\mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^{k+1} }{(k+1)!} = \frac{\mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda} \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k} }{k!} \right) = \frac{\mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda} \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^{k} }{k!} -1 \right) = \frac{\mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda} \left(\mathrm{e}^\lambda -1 \right) $$

Answer 2

Hacemos el cálculo. La expectativa es $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+n}e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}.$$ Este es $$e^{-\lambda} \sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda^n}{(n+1)!}.$$ Dividir, multiplicar por $\lambda$. Tenemos $$\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda^{n+1}}{(n+1)!}.$$ El interior de la suma de arriba es igual a $e^{\lambda}-1$, por lo que la cosa se simplifica a $$\frac{1}{\lambda}(1-e^{-\lambda}).$$

Answer 3

Su fórmula para la expectativa tiene un problema, usted no debe enchufe $1+X$ inversa de la probabilidad como se suma sobre el espacio muestral, se debe conectar $X$ solamente.