¿Cuáles son los trucos útiles para determinar si los grupos son isomorfos?

Question

En general, no es demasiado difícil encontrar isomorphisms entre los dos grupos cuando su orden es relativamente baja. Sin embargo, como sus órdenes de crecer, se vuelve cada vez más irritante para escribir toda su Cayley tablas y tal. Hay una serie de trucos que generalmente es útil cuando se trata de probar que los dos grupos son en realidad isomorfos? Después de todo, es que en general parece más fácil de demostrar que no son, como usted necesidad justa de señalar una propiedad que no corresponden...

Ejemplo: en el caso Armstrong y Grupos de Simetría, se le preguntó a mostrar que el diedro grupo de orden 8 y el subgrupo de S4 generado por (1234) y (24) son isomorfos. Es fácil enviar D4 "de una sola rotación" elemento r a S4 (1234) y D4 "flipping" elemento s S4 (24), ya que todos ellos son parte de la generación del sistema y sus órdenes a coincidir, pero ¿cuál es el camino para salir de aquí? También, ¿hasta dónde debe uno ir mostrando el isomorfismo - podría señalar la correspondencia en la generación de elementos es suficiente?

Answer 1

Demostrando que los dos grupos son isomorfos es seguramente un problema difícil, en el sentido de que el grupo de isomorfismo problema es indecidible. Así que literalmente no hay algoritmo general para demostrar que los dos grupos son isomorfos. Para demostrar que dos finito grupos son isomorfos por supuesto uno puede ejecutar a través de todos los posibles mapas entre los dos, pero eso no es divertido en general.

Para su caso en particular, no hay mucho que decir. Depende de lo que usted sabe acerca de la $D_4$. Si usted sabe de una presentación de la misma, entonces usted puede probar que lo que hemos definido es en realidad un homomorphism que, además, se surjective. Puesto que los dos grupos tienen el mismo fin, ya está hecho.

Para el reconocimiento de un número finito de grupo a través de una presentación en la que a veces se puede usar el Todd-Coxeter algoritmo.

Answer 2

Hay un par de maneras de demostrar que un homomorphism de grupos es un isomorfismo:

• Un homomorphism que es un bijection de conjuntos es un isomorfismo.
• Un homomorphism con dos caras inversa es un isomorfismo.
• Un homomorphism que es surjective como un mapa de conjuntos y con un trivial núcleo es un isomorfismo.

Por supuesto, a veces la parte más difícil es demostrar que tiene un homomorphism a todos. Por su ejemplo de $D_4$$S_4$, usted necesita para mostrar el mapa en el que especifique se extiende a un homomorphism. Automáticamente surjective porque has llegado a cada elemento en la generación del sistema. A continuación, basta para mostrar que tiene un trivial kernel. Sin embargo, la más fácil manera de mostrar ese $D_4$ incrusta como un subgrupo de $S_4$ es para mostrar que actúa fielmente en un conjunto de 4 elementos. Esto es fácil: $D_4$ natural actúa sobre los vértices de un cuadrado, y es sin duda fieles, porque no hay no-trivial elemento de $D_8$ que actúa trivialmente.

Answer 3

La forma habitual para mostrar isomorphy entre los grupos es, de hecho, simplemente construir el isomorfismo, es decir, construir una función $\varphi$ que es un bijection y morfismos.

Sin embargo, a veces se puede recurrir a más limpio 'trucos', considerando las acciones de los grupos y la construcción de equivalente de permutación de las representaciones. Por ejemplo, para mostrar que $Aut(\mathbf C_2\times \mathbf C_2) \cong \mathbf S_3 \cong \mathbf D_6$ uno puede darse cuenta de que los tres grupos de actuar en tres elementos. En realidad, la primera se compone de todas las permutaciones de la no-trivial de los elementos de $C_2\times \mathbf C_2$, (1,0), (0,1) y (1,1), el segundo grupo es, por definición, el grupo de todas las permutaciones de $\{1,2,3\}$ y el tercer grupo actúa sobre un triángulo en el plano en donde otra vez se compone de todas las permutaciones posibles de los tres vértices del triángulo.

Los tres grupos de la ley de fieles (sólo la identidad actos trivialmente) por lo tanto cualquier bijection entre estos conjuntos (la no-trivial elementos de $\mathbf C_2\times \mathbf C_2$, la $\{1,2,3\}$, los ángulos de un triángulo), naturalmente se induce un isomorfismo entre estos grupos. No es realmente una alternativa a la construcción de la isomorfismo, por supuesto, sólo te dice por dónde empezar a buscar uno.

Otra estrategia que he visto en el trabajo cuando se trata con los grupos definidos por las presentaciones es en primer lugar, construir un epimorphism (que es bastante fácil, sólo hay que comprobar que todas las relaciones que se mantienen todavía) y, a continuación, mostrar por consideraciones sobre el grupo (por ejemplo, la simplicidad) que su núcleo debe ser trivial.

Sin embargo, a menudo es muy difícil pensar en tales cosas. Aquí hay algo que he leído: Durante los años de oro de descubrimiento de esporádicos simple grupos de dos grupos de igual orden, se construyeron y a pesar de que era sospechoso y algunas no trivial cosas acerca de estos grupos había sido probado, se mantuvo seguro para la otra, mientras que si estaban o no en realidad iguales. (Resultó que eran. Sería interesante si alguien tenía una referencia de este hecho, no recuerdo donde lo leí.)

--- añadido:

He aquí cómo esto puede ayudar a resolver su problema particular. Deje $\mathbf D_8$ actuar en un cuadrado con vértices numerados $1,2,3,4$. Tenga en cuenta que, de hecho, $a = (1\ 2\ 3\ 4)$ $b = (2\ 4)$ corresponden a válido isometrías de la plaza, vamos a llamarlos $R$ (por rotación) y $D$ (para la reflexión a lo largo de la diagonal). Esto implica que el mapa $$ \varphi \colon \langle R,D\rangle \to \langle a,b\rangle $$ en realidad es un isomorfismo: cada elemento de cualquiera de los dos grupos de forma exclusiva corresponde a una permutación de $\{1,2,3,4\}$ resp. los vértices de la plaza. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $\mathbf D_8$ es generado por $R$ $D$ (que es bien conocido) y listo.