Pregunta acerca de la no-positivo procesos Estocásticos

Question

Esta pregunta va a ser un poco fuera de personaje para mí. Estoy leyendo una evolución de la teoría del juego libro (que no es para los matemáticos), y no estoy seguro de las matemáticas.

Mi definición de una matriz estocástica será una matriz cuadrada real $\geq 0$ coordenadas, de tal manera que la suma de cada fila es $1$.

Voy a llamar a una matriz estocástica positivo, si todos sus coordenadas son positivas.

El libro que estoy mirando es describir finito de nacimiento-muerte de los procesos. La idea es que hay una población finita $A$ y una población finita $B$, y en cada paso de una de cualquiera de las $A$ o $B$ al azar muere, y uno al azar se multiplica. Podemos pensar en esto como un proceso estocástico con $N+1$ estados, uno para cada uno de los número posible de personas en $A$. ($N$ el número de personas en $A$ más el número de personas en $B$)

Deje $P$ la correspondiente matriz estocástica.

El libro declara lo siguiente: vamos a $x_i$ la probabilidad de alcanzar el estado de $N$ cuando a partir de $i$ EVENTUALMENTE (en el límite del proceso de continuar ad infinitum). Deje $\underline{x}$ el valor del $x_i$'s como un vector. A continuación,$\underline{x}=P\underline{x}$, y (y cito) "la absorción de las probabilidades están dadas por la mano derecha de la autovector asociado con el mayor autovalor, que es uno, porque $P$ es una matriz estocástica."

Mi pregunta real es: ¿qué es el derecho enunciado del teorema este utiliza?

Aviso de que esta $\underline{x}$ es sólo la última columna de $P^{\infty}$ (el límite de $P^n$). Es la correcta declaración de que todas las columnas de a $P^{\infty}$ vectores propios para el autovalor $1$? Es la correcta declaración de que todas las columnas de a $P^{\infty}$ son vectores propios de algunos autovalor (que puede cambiar de columna a columna) con valor absoluto $1$ (posiblemente complejas)?

Yo también estoy teniendo un tiempo difícil comparar a la Perron-Frobenius teorema. Del nacimiento a la muerte no es un positivo proceso estocástico (uno positivo estocástico de la matriz), pero lo teorema estoy buscando también debería funcionar para aquellos. Deje $Q$ ser positivo estocástico de la matriz. Entonces, de acuerdo a Perron-Frobenius (mi comprensión de lo que es en su mayoría de http://people.brandeis.edu/~igusa/Math56F06/Math56a_lectures.pdf página 4, pero también un poco de wiki): el espacio propio de $1$ es exactamente $1$-dimensional, y $1$ es el único autovalor con valor absoluto $1$. Además, hay una (única, obviamente) vector de $\underline{\pi}$ tal que es en este espacio propio, y que tiene positivo coordenadas, y su suma es $1$. Más aún, $P^{\infty}$ tiene todos sus filas $\underline{\pi}$!! Más aún, $P^t\pi=\pi$.

Así que... estoy confundido. ¿Qué es el teorema de la que estoy buscando, y en qué sentido con Perron-Frobenius?

Answer 1

Tomar cualquier estado finito espacio de la cadena de Markov con matriz de transición $P$.

Cuando el límite de $P^\infty$ existe, sus columnas $v$ todas satisfacer $Pv=v$. De hecho, sus columnas se extienden por el espacio propio correspondiente al valor propio 1.

Hay un probabilística de la fórmula para el $j$ésima columna de la función, es $$i\mapsto {\mathbb{P}_i(T_j<\infty)\over \mathbb{E}_j(T_j)}$$ donde $T_j$ es el golpear el momento de que el estado $j$, es decir, $T_j=\inf(n\geq 1: X_n=j)$. Esta fórmula se puede probar usando el fuerte de Markov de la propiedad.

Al $j$ es transitorio, a continuación, $\mathbb{E}_j(T_j)=\infty$ (desde que la cadena puede no devolver a $j$) y la proporción de arriba es igual a cero. A continuación, el $j$ésima columna de a $P^\infty$ es el vector cero. Obviamente, el vector cero satisface $Pv=v$!

En el caso extremo, cuando se $j$ está absorbiendo, a continuación, $\mathbb{E}_j(T_j)=1$ $P^\infty_{ij}=\mathbb{P}_i(T_j<\infty)$ es la oportunidad de ser absorbido en $j$, a partir del estado de $i$.

Parece que en su modelo de cada estado es la absorción o transitoria, de modo que cada columna se compone de absorción de probabilidades.

---

Por el contrario, cuando se $P$ tiene todos estrictamente positivo entradas, a continuación, todos los estados que pertenecen a un común recurrente de la clase, y $\mathbb{P}_i(T_j<\infty)=1$ todos los $i,j$. En este caso, todas las columnas son constantes funciones, de hecho múltiplos de los vectores $(1,1,\dots,1)^T$. De forma equivalente, todas las filas son idénticos y dar el único invariante de la distribución de probabilidad de la cadena.

---

El resultado es que las cadenas de Markov con estrictamente positivo $P$ vs general no negativo $P$ puede tener muy diferentes límites y el comportamiento. Por favor, hágamelo saber si esto es claro.