Relación de tamaño de grupo cociente de la matriz determinante

Question

En Alperin del libro, Locales Teoría de la Representación (p. 169) hay un reclamo que me estoy encontrando difícil de verificar.

La instalación es la siguiente. Dado un libre grupo abelian $V$ generado por la base de los elementos de $\{v_1, \ldots, v_n\}$ $n$ otros elementos $\{w_1, \ldots, w_n\}$ abarca subgrupo $W$, se desea calcular el tamaño (número de elementos) de $V/W$.

El reclamo es que este es finito iff la matriz $C$ expresan la $w_i$ en términos de la $v_i$ tiene determinante distinto de cero. Por otra parte, si esto es así, su tamaño exacto es el módulo de la determinante de la $C$.

Esto se explica sólo como "la teoría de los divisores elementales" y me preguntaba si alguien tiene una prueba de esto, o instrucciones para llegar a algún material hacia una prueba de esto.

Edit: especifica "...tamaño exacto es el módulo de la determinante..."

Answer 1

Invariantes de los factores se refiere a la forma normal de Smith (enlace: wikipedia).

Escribir $w_i = \sum_{j = 1}^n A_{ji} v_j$ donde $A_{ji} \in \mathbb{Z}$.

La idea es que por el cambio de los generadores de $W$ $V$ adecuadamente, podemos encontrar nuevos grupos electrógenos $\{ w_1', \ldots, w_n' \}$ $W$ $\{v_1', \ldots, v_n'\}$ $V$ tal que para todo $i$, $$w_i' = k_i v_i'$$ for some non-negative integers $k_i$ such that $k_i \mediados de k_{i+1}$. This follows from the Smith normal form applied to the integer matrix $$. Here we have $|\det a| = k_1 \cdots k_n$.

Es obvio a partir de $w_i' = k_iv_i'$ que $$V/W \cong \mathbb{Z}/k_1 \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/k_n\mathbb{Z}.$$

Por lo tanto $V/W$ es finito si y sólo si $k_i > 0$ todos los $i$; por lo $V/W$ es finito si y sólo si $\det A \neq 0$. Finalmente, cuando se $V/W$ es finito, tiene el fin de $k_1 \cdots k_n = |\det A|$.

Answer 2

$\mathcal{W} = C \mathcal{V}$ implica $\operatorname{adj}(C)\mathcal{W} = \det(C) \mathcal{V}$. Por lo tanto, $\det(C)v \in W$ por cada $v \in V$ $\det(C)$ mata a cada elemento de a $V/W$. Por lo tanto, si $\det(C)\ne0$, $V/W$ es un finitely genera torsión abelian grupo, y así debe ser finito.