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Question

Estoy leyendo Un Primer Curso en las Formas Modulares de Diamond y Shurman y estoy confundida en un punto pequeño en el Capítulo 2. Deje $\Gamma$ ser una congruencia subgrupo de $\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$. $\gamma \in \mathscr H$ se llama una elíptica el punto de $\Gamma$ si el stablizer de $\gamma$ $\operatorname{PSL}_2$ es trivial.

La proposición 2.1.1 Deje $\tau_1, \tau_2 \in \mathscr H$ ser dado. Existen abrir los vecindarios $U_i$ $\tau_i$ $\mathscr H$ que si $\gamma \in \operatorname{SL}_2(\mathbb Z), \gamma(U_1) \cap U_2 \neq \emptyset$,$\gamma(\tau_1) = \tau_2$.

Corolario 2.2.3 Deje $\Gamma$ ser una congruencia subgrupo de $\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$. Cada punto de $\tau \in \mathscr H$ tiene un vecindario $U$ $\mathscr H$ tal que $\gamma \in \Gamma, \gamma(U) \cap U \neq \emptyset$ implica $\gamma \in \operatorname{Stab} \tau$. Un barrio no tiene elíptica puntos, excepto posiblemente $\tau$.

Tomando $\tau = \tau_1 = \tau_2$ $U = U_1 \cap U_2$ en la proposición implica todo en el corolario a excepción de la última frase. ¿Cómo sabemos que podemos elegir $U$ lo suficientemente pequeño como para excluir todos los elíptica puntos? En otras palabras, ¿cómo sabemos que la elíptica puntos en $\mathscr H$ forman un conjunto discreto?

Answer 1

Ya que cada elíptica punto fijo de un elemento de $\Gamma$ es una elíptica de punto fijo de un elemento de $SL_2(\mathbb{Z})$, es suficiente para demostrar la declaración más fuerte que la elíptica en puntos fijos de $SL_2(\mathbb{Z})$ forman un conjunto discreto. Y, de hecho, lo voy a probar es aún más fuerte, se forma un discreto cerrado conjunto.

Bajo la acción de $SL_2(\mathbb{Z})$$\mathscr H$, hay exactamente dos órbitas de elíptica puntos: la órbita de $z_0=0+1i$ que es la elíptica punto fijo de $f_0(z)=-1/z$; y de la órbita de $z_1=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ que es el punto fijo de $f_1(z) = \frac{z-1}{z}$. Esto se puede verificar comprobando por ti mismo que si la traza de $f \in SL_2(\mathbb{Z})$ es igual a $0$ entonces es conjugado a una potencia de $f_0$; si la traza es $\pm 1$ entonces es conjugado a una potencia de $f_1$; y si la traza tiene valor absoluto $\ge 2$, entonces no es la elíptica.

Supongamos que la elíptica en puntos fijos no forman un discreto subconjunto cerrado de $\mathscr H$. Existiría, por tanto, un punto de $p \in \mathscr H$ y una secuencia de una infinidad de distintos elíptica puntos fijos $q_1,q_2,q_3,\ldots$ convergentes a $p$. Pasando a lo finito índice larga, podemos suponer que existe $i \in \{0,1\}$ de manera tal que cada uno de $q_1,q_2,q_3,\ldots$ está en la órbita de $z_i$ (y así se fija por un conjugado de $f_i$). Pasar a una más larga, podemos suponer que cada una de las $q_n$ a pie $\le 1/2$$p$. Por lo tanto, obtener una secuencia de una infinidad de distintos elementos no triviales de $SL_2(\mathbb{Z})$, lo que voy a denominar $g_1,g_2,g_3,\ldots$ (cada uno de los cuales es el conjugado de a $f_i$) tal que para cada una de las $n$ el punto de $q_n$ es fijo por $g_n$, y, además, tenemos \begin{align*} d(g_n(p),p) &\le d(g_n(p),g_n(q_n)) + d(g_n(q_n),p) \\ &= d(p,q_n) + d(q_n,p) \\ & \le 1 \end{align*} El subconjunto de todos los $g \in SL_2(\mathbb{R})$ tal que $d(g(p),p) \le 1$ es compacto. Por lo tanto, la secuencia de $g_n \in SL_2(\mathbb{Z})$ tiene un convergentes larga en $SL_2(\mathbb{R})$. Pero eso es una contradicción, porque $SL_2(\mathbb{Z})$ es un subgrupo discreto de $SL_2(\mathbb{R})$: $\mathbb{Z}$ es discreta en el $\mathbb{R}$, y por tanto, ninguna secuencia de los distintos elementos de $SL_2(\mathbb{Z})$ tiene un convergentes larga en $SL_2(\mathbb{R})$.

Answer 2

Deje $\tau$ $U$ ser como en el Corolario. Si $\tau' \in U$ es una elíptica punto diferente de $\tau$, con trivial estabilizador $\gamma \in \text{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $\gamma$ también corrige $\tau$ por la primera parte del Corolario. Así, es suficiente para demostrar que si $\gamma \in \text{PSL}_2(\mathbb{R})$ corrige dos puntos distintos de $\mathscr{H}$, $\gamma$ es la identidad. Esto es inmediatamente verificada (por ejemplo, suponiendo que uno de los puntos es $\sqrt{-1}$).