¿Por qué la condición de que $\alpha$ es un complejo de raíz relevante en este ejercicio de Artin de Álgebra?

Question

En la segunda edición de Artin de álgebra de libro, página 472, el siguiente ejercicio:

Deje $\alpha$ ser un complejo de la raíz de $x^3-3x+4$. Hallar la inversa de a $\alpha^2+\alpha+1$ en la forma $a\alpha^2+b\alpha+c$, con $a$, $b$, $c$ en $\mathbb{Q}$.

El ejercicio en sí no es difícil. Uno puede usar el Algoritmo de Euclides extendido o fuerza bruta para encontrar $a$, $b$ y $c$. No entiendo cómo el hecho de que $\alpha$ es un complejo de raíz de $x^3-3x+4$ relevante. Tan lejos como puedo ver, ambos enfoques no hacer uso del hecho de que $\alpha$ es un complejo de raíz. Es posible que exista una explicación simple, pero se me escapa. Puede alguien explicar por qué esta condición es la que hay? Es posible que la condición anterior da una manera más rápida de resolver el ejercicio?

Answer 1

Bueno, si usted acaba de decir que "a raíz de $x^3-3x+4$", entonces estaría claro cuál es el campo de esta raíz se supone que viven en. Tan "complejo" especifica que estamos buscando una raíz en $\mathbb{C}$, frente a un (digamos) una raíz en $\mathbb{F}_{37}$. Como resulta que, en realidad, no importa que el campo es específicamente $\mathbb{C}$, lo que importa es que es un campo de caracteres $0$ frente a un campo de característica positiva (y que requieren $a,b,c\in\mathbb{Q}$ no tendría sentido en este último caso, de todos modos).