Hay un nombre para este tipo de poset?

Question

En dos no relacionados con los papeles que estoy escribiendo, me he encontrado con el siguiente tipo de poset:

De la asunción. Deje $(I,\leq)$ ser un poset. Asumir que por cada $i \in I$ el conjunto $I_{\leq i} = \{j \in I\ |\ j \leq i\}$ es finito.

Este tipo de poset es útil para la inducción argumentos: se puede llevar a cabo construcciones por inducción sobre el tamaño de $I_{\leq i}$. El tipo de aplicación que tengo en mente es el siguiente:

Aplicación. Dado un functor $F \colon I^{\operatorname{op}} \to \mathscr C$ a alguna categoría $\mathscr C$ con productos de fibra, y dada una subcategoría $\mathscr C' \subseteq \mathscr C$ 'nice' objetos de tal forma que cada objeto de $\mathscr C$ 'cubierto' (noncanonically) por un objeto de $\mathscr C'$, se puede construir una cubierta $G \colon I^{\operatorname{op}} \to \mathscr C'$ $F$ a través de la inducción de la siguiente manera: para $i$ mínima elegir cualquier cubierta $G(i) \to F(i)$ $G(i) \in \mathscr C'$. En general, si $I_{\leq i} = \{j_1,\ldots,j_r\}$, elija $G(i) \in \mathscr C'$ como una cubierta de $$F(i) \underset{F(j_1)}\times G(j_1) \underset{F(j_2)}\times \cdots \underset{F(j_r)}\times G(j_r),$$ que, por construcción, admite mapas para cada una de las $G(j_k)$ $k \in \{1,\ldots,r\}$ haciendo todo lo necesario diagramas conmutan.

Pregunta. Hacer estas posets tener un estándar (o no estándar!) nombre en la literatura?

Yo también estaría interesado en un estudio de la sistemática dirigida posets con esta propiedad. El ejemplo común es el poset de finito de subconjuntos de un conjunto dado. Hay un sentido en el que cada ejemplo que viene de uno de estos?

Answer 1

Me siento como un nombre estándar para tales posets debería existir, pero nunca he oído hablar de uno y no he sido capaz de encontrar uno con un poco de búsqueda. Aquí hay algunas cosas que puedo decir que a pesar de.

Un parcial en un conjunto $I$ es equivalente a un $T_0$ topología que es localmente finito (es decir, en el que cada punto tiene un número finito de barrio). Si se reemplaza "orden parcial" con "preorder", a continuación, que es equivalente a una caída de la $T_0$ asunción. Explícitamente, dado un poset $(I,\leq)$, definir una topología diciendo $U\subseteq I$ es abrir el fib para todos $i\in U$, $j\leq i$ implica $i\in U$. Por el contrario, el orden $\leq$ pueden ser recuperados como la especialización de la orden de la topología (o su opuesto, dependiendo de sus convenciones).

Por desgracia, el término "localmente finito poset" tiene un diferente significado estándar (lo que significa que el intervalo entre dos elementos es finito), así que usted no puede pedir prestado el nombre de topología. Esta definición está estrechamente relacionado con la suya, sin embargo: un poset tiene su propiedad si el poset obtenidos por la colindante de por lo menos un elemento que es localmente finito.

En la dirigida caso, en efecto, hay una estrecha conexión con el poset de finito de subconjuntos de un conjunto: cualquier dirigida parcial poset $I$ incrusta cofinally en el poset de finito de subconjuntos de un conjunto. Es decir, se incrusta en los subconjuntos finitos de $I$ sí mismo, mediante el envío de $i\in I$ para el conjunto de $I_{\leq i}$. Esta inclusión es cofinal precisamente por $I$ es dirigido. Por el contrario, cualquier cofinal subconjunto de la poset finito de subconjuntos de un conjunto es dirigido poset de este tipo, por lo que esta es una caracterización completa de tales posets.

Si se le cae la dirigida asunción, luego de su posets puede asimismo ser caracterizado como el posets, que se incorporan en el poset de finito de subconjuntos de un conjunto.