Siguiendo con la idea de Andrew de mirar interesante anillos para encontrar módulos interesantes, te sugiero que eche un vistazo a los anillos que no cumplen con las IBN (invariante de la base de la propiedad número). Esos son los anillos para el que existen a la izquierda (derecha) de los módulos de $M$ tal que $M^n \cong M^m$ para algunos de los diferentes números enteros positivos $m,n$; esto es, anillos para el que la noción de "dimensión" (rango) de los módulos no pueden ser adecuadamente definido.
En la década de 1950, W. G. Leavitt ((1),(2),(3)) construido ejemplos explícitos de los anillos de $R$ que no tienen el IBN propiedad, que en rigor le pide cualquiera de las dos bases (es decir, linealmente independientes que abarcan conjuntos) de una izquierda $R$-módulo de tener el mismo número de elementos, la generalización de una conocida propiedad de los campos. Noetherian anillos y anillos conmutativos se incluyen entre las muchas clases de anillos de tener esta propiedad (por lo que si usted realmente quiere encontrar módulos muy diferentes en su naturaleza a los espacios vectoriales, debe mover a la no-conmutativa). Se puede demostrar que si $R$ es unital anillo, a continuación, $R^1 \cong R^n$ (a la izquierda $R$-módulos, por ejemplo) para algunos $n>1$ si y solo si existe un conjunto de $2n$ elementos en $R$ que producen los isomorphisms como matriz de multiplicaciones por una $n$-vector fila y un $n$-vector columna con las entradas en $R$, es decir, si existen elementos de $x_1, ... , x_n \in R$ $y_1,..., y_n \in R$ tal que $x_iy_j = \delta_{ij}1_R$ todos los $i,j$, e $\sum_{i=1}^n y_ix_i = 1_R$. Si un unital anillo de $R$ no tiene IBN, se dice que el $R$ tipo de módulo $(m,n)$ donde $m\in {\mathbb N}$ es el mínimo número tal que $R^m \cong R^n$ algunos $n>m$ $n$ es mínima dado $m$. En su trabajo seminal (3), Leavitt demostró que para cada par de enteros positivos $n>m$ y cualquier campo $K$ siempre existe una $K$-álgebra de tipo de módulo $(m,n)$, es decir, el cociente de la unital libre asociativa $K$-álgebra en el número apropiado de las variables de la satisfacción de las relaciones descritas anteriormente. Esta álgebra es denotado por $L_K(m,n)$ y llamó a la Leavitt $K$-álgebra de tipo $(m,n)$.El $K$-álgebras de tipo de módulo $(m,n)$ no necesitan ser únicos: por ejemplo, si $V$ es un infinito dimensional espacio vectorial y $R={\rm End}_K V$ es su anillo de endomorphisms, entonces es fácil ver que $R^1 \cong R^2$; pero se puede demostrar que $R$ no es isomorfo a $L_K(1,2)$.
(1) W. G. Leavitt. Los módulos a través de los anillos de palabras. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 7 (1956), 188-193.
(2) W. G. Leavitt. Los módulos sin invariante de la base número. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 8 (1957), 322-328.
(3) W. G. Leavitt. El tipo de módulo de un anillo. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 42 (1962), 113-130.
