Para cualquier entero$n$, que es mayor que $3$, vamos $$P= \sqrt[60]{3}. \sqrt[120]{4}...\sqrt[\left ( n^{3}- n \right )]{n- 1}$$ Demostrar que: $$\sqrt[\left ( 24n^{2}+ 24n \right )]{3^{n^{2}+ n- 12}}\leq P< \sqrt[8]{3}$$ I don' t tiene alguna idea para este problema. Es' s muy interesante, pero extraño. Que me ayude!
Respuesta
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Andronicus
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Tal vez me pueden ayudar con el derecho de la desigualdad. $\frac{ln(i-1)}{i^2(i-1)}<\frac{i-1}{i^2(i-1)}=\frac{1}{i^2}<1$ $i \geq 4$ . También ambos lados son positivos, por lo que tenemos que demostrar, que: $ln(P) < \frac{1}{8}ln(3)$. También vamos a denotar $P_n$ P $n$ términos.
Como $P_n$ es decreciente con el número de términos sabemos que $P_n \leq \frac{1}{60} ln(3) < \frac{1}{8} ln(3)$, lo que demuestra que el derecho de la desigualdad.
