Si $\hat{f}\in L^2(\mathbb{R})$ entonces $\hat{f}$ está disminuyendo rápidamente.

Question

Este es el problema 2.3.6 del libro de Mckean, "Fourier Series and Integrals".

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El problema:

Compruebe que si $\hat{f}\in L^2(\mathbb{R}^1)$ entonces $\hat{f}$ disminuye rápidamente en el sentido de $\gamma^n\hat{f}(\gamma)\in L^2(\mathbb{R}^1)$ por cada $n\geq 0$ si $f\in C^{\infty}$ y todos sus derivados $D^nf$ pertenecen a $L^2(\mathbb{R^1})$ . Compruebe también la fórmula $\widehat{D^nf}=(2\pi i\gamma)^n \hat{f}$ .

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Hay muchas cosas que no entiendo aquí, y me encantaría que me ayudaras a resolverlas :).

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En primer lugar : Pensaba que el espacio de las funciones rápidamente decrecientes, también conocido como espacio de Schwartz, era el espacio $$S(\mathbb{R})=\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R}):\|f\|_{\alpha,\beta}<\infty,\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{Z}_+\},$$ donde $C^{\infty}(\mathbb{R})$ denota el conjunto de funciones suaves de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ y $$\|f\|_{\alpha,\beta}=\sup_{\alpha,\beta\in\mathbb{R}}\Big | x^{\alpha}D^{\beta}f(x) \Big|.$$ Es decir, si no hubiera leído la "definición" que dieron en el ejercicio, habría intentado demostrar que $\hat{f}\in S(\mathbb{R})$ . ¿Sabe usted si esto equivale a estar en $S(\mathbb{R})$ ? Como no veo cómo ambas definiciones pueden ser equivalentes, supongo que tengo que quedarme con la primera (la que dieron en el ejercicio).

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En segundo lugar : Tal vez una pregunta tonta, si quiero comprobar que $\hat{f}$ disminuye rápidamente según la definición anterior, ¿debo comprobar a la vez que

" $\gamma^n\hat{f}(\gamma)\in L^2(\mathbb{R}^1)$ por cada $n\geq 0$ implica $f\in C^\infty$ y todos sus derivados $D^nf$ pertenecen a $L^2(\mathbb{R^1})$ "

y que

" $f\in C^{\infty}$ y todos sus derivados $D^nf$ pertenecen a $L^2(\mathbb{R^1})$ implica $\gamma^n\hat{f}(\gamma)\in L^2(\mathbb{R}^1)$ por cada $n\geq 0$ "?

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En tercer lugar : En el libro se da una "pista". Dicen que "La mitad de la prueba es un poco complicada si $f$ no es compacto: Hay que demostrar, por ejemplo, que $f(x)\to 0$ como $x\to\infty$ si $f$ y $f'$ pertenecen a $L^2(\mathbb{R})$ . Para ello, escriba $$f^2(x)=f^2(0)+\int_0^x (f^2)' \, dt=f^2(0)+2\int_0^x ff' \, dt$$ para convencerte de que el límite existe, y luego argumentar por separado que más vale que sea cero".

No entiendo nada de la insinuación anterior. ¿Por qué debería considerar $f$ cuando no es compacto, como un caso aparte? ¿Por qué quiero demostrar que $f(x)\to 0$ como $x\to\infty$ ? ¿Cómo funciona la expresión anterior para $f^2(x)$ ¿me ayudas?

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Me encantaría que me ayudaran a plantear una solución a este problema (y que me explicaran qué debo probar). Tal vez podríais darme los pasos y algunas pistas para que los rellene. Realmente no sé por dónde empezar y cómo abordar este problema :)

Answer 1

Esencialmente, el resultado se desprende de la identidad $\widehat{D^nf}=(2\pi i\gamma)^n\widehat{f}$ (siempre que cualquiera de los términos esté bien definido).

Si $\gamma^n\widehat{f}(\gamma)\in L^2(\mathbb{R})$ para todos $n$ entonces $\widehat{f}\in L^1(\mathbb{R})$ ya que en particular $|\widehat{f}(\gamma)|\leqslant C(1+|\gamma|)^{-2}$ a.e. para alguna constante $C>0$ . Entonces la fórmula de la transformada inversa de Fourier da $f(\gamma)=\int_\mathbb{R}e^{2\pi i x\gamma}\widehat{f}(x)\mathrm{d}x$ para todos $\gamma\in\mathbb{R}$ . Entonces, utilizando de nuevo ese $\gamma^n\widehat{f}(\gamma)\in L^2(\mathbb{R})$ podemos diferenciar dentro de la integral para obtener $D^nf(\gamma)=\int_{\mathbb{R}}e^{2\pi i x\gamma}(2\pi\gamma)^n\widehat{f}(x)\mathrm{d}x$ .

Para $f\in C^\infty$ tal que $D^nf\in L^2$ para todos $n$ Consideremos en primer lugar el caso en el que $f\in\mathcal{S}$ . Entonces $\lim_{\gamma\to\pm\infty}D^mf(\gamma)=0$ para todos $m$ y la integración por partes da $\widehat{D^nf}(\gamma)=(2\pi i\gamma)^n\widehat{f}(\gamma)$ para que $\gamma^n\widehat{f}(\gamma)\in L^2$ para todos $n$ . En el caso general, para un determinado $n$ siempre se puede hacer una aproximación $f$ y $D^nf$ en $L^2$ por $\{f_k\}_k$ y $\{D^nf_k\}_k$ respectivamente con $f_k\in\mathcal{S}$ .